微分方程部分参考的是如下视频内容：
【考研 高等数学 微分方程】_哔哩哔哩_bilibili
基本概念微分方程的概念很简单
这里重点是未知函数的导数，貌似不包含未知函数和自变量也是可以的，可以理解成未知函数和自变量的系数是0，但是未知函数的导数必须要有。
其实对比下之前学习的二次方程就能更好地理解了。
对于一般的二元方程，里面就只有自变量和对应的未知函数。
微分方程就必须含有未知函数的导数，最高含几阶导数，我们就称之为几阶微分方程。
分类两种基本的分类
高等数学中接触的大多是常微分方程；偏微分方程是里面含有偏导数的方程，也就是针对多元函数的微分方程。
对于线性来说，只要求函数y和各阶导数都是一次的，并不对自变量的次幂数作出要求。所以上图中最后一行的两个例子，左侧是线性微分方程，右侧就是非线性的微分方程。
微分方程的解解微分方程的过程，其实就是找出未知函数的过程。
求微分方程的解，求的是一个未知函数，而不是求出一个具体的值。
举个例子：
微分方程的解分为特解和通解。
通解是由于不定积分的结果含有任意常数带来的，当任意常数不确定时，即常数未知时，就是一个通解；当常数可以确定是，就是一个特解。
比如上面的例子中，y=x^2+C就是一个通解，y=x^2+1就是一个特解。
其数学定义如下所示：
一阶微分方程一阶微分方程通常有三类
可分离变量的方程
举个例子
齐次微分方程
举个例子：
注意最后要回代回去。
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程可分为齐次和非齐次
齐次就是等号右侧等于0的意思。
注意，这里的齐次是针对一阶线性微分方程来说的。
齐次和非齐次情况下的解有如下形式：
举个例子
差分方程差分方程部分参考的是如下视频内容：
考研 数学三 差分方程的概念_哔哩哔哩_bilibili
差分的概念我们先看一个引例
现实中我们研究火箭的飞行时，不可能取到火箭每时每刻的路程和速度。
当自变量t离散化之后，如何进行研究呢？
离散化之后，其实就没有导数了，也就是没有什么瞬时速度了，那怎么办呢？
这种情况下，其实就只能计算两个时间点之间的平均速度了。
时间t的间隔是我们可以选择的，为了研究的方便，我们一般会取成等间隔的，进一步来说，如果都是1个单位的间隔，那就最好了。
于是上述例子就有如下分析：
根据这个例子我们就引出了差分的概念，其实就是微分在离散情况下的类似概念。
和微分类似，一阶差分反应的是序列的变化快慢。
注意前面的三角形△符号。
一阶差分的差分就是二阶差分，反应了一阶差分的变化快慢。
和二阶导数也是类似的。
因为离散的序列没法通过导数和微分来进行研究，所以只能通过差分来进行分析。
举两个例子
以下给出差分的数学定义。
这里注意几个问题：
1、二阶差分或者说高阶差分可以转换成低阶差分，最后逐级转换成某几个序列点的加减计算。
2、x是可以任意取值的，只要保证间隔为1个单位即可，也就是说，x这个点是可以左右平移的，通常，我们会取x为0，从而可以更方便地研究序列。
3、在某点的差分是通过两个点的差来定义的，体现的是平均变化率。
什么是差分方程类比微分方程来看下
所以到底什么是差分方程呢？
另外，我们在上面说过，高阶差分可以转换成低阶差分，最后逐级转换成某几个序列点的加减计算，所以，差分还有另一种等价的定义形式。
注意：多个时刻的函数值不能少于两个。
在这种定义下，差分方程的阶定义如下：
差分方程的解通解和特解
一阶线性常系数差分方程递推法求解齐次差分方程
递推法求解需要有个初值条件，否则递推就是无止尽的。