平面図形(教科書範囲)★
三角形の五心(外心，内心，重心，垂心，傍心)の1つである内心の定義を紹介し，内心の存在証明と性質を扱います．
目次
1： 内心の定義
2： 内心の存在証明と性質
3： 練習問題
内心の定義三角形の内心の定義を紹介します．覚えていない人が多いので，数学で受験をするならば暗記必須です．
三角形の内心の定義
三角形の各内角の二等分線の交点を内心という．
内心はinner center の頭文字でよく $ m I$ で表します．
次章では三角形の各内角の二等分線が1点で交わること(内心が存在すること)の証明と，内心の性質を挙げます．
内心の存在証明と性質以下の定理を同時に紹介，証明します．
内心の存在証明と性質
Ⅰ 三角形の各内角の二等分線は1点で交わる
Ⅱ 内心は各辺までの距離が等しい．すなわち内接円が引け，その中心である．
証明
$ riangle m ABC$ において，$angle{ m A}$，$angle{ m B}$ の二等分線の交点を $ m I$ とすると
${ m IE}={ m IF}$，${ m IF}={ m ID}$
より，${ m ID}={ m IE}$ となるので，点 $ m I$ は $angle{ m C}$ の二等分線上にもある．
これより，各内角の二等分線は1点で交わり，さらに ${ m ID}={ m IE}={ m IF}$ である．
練習問題練習
$ riangle m{ABC}$ の内心を $ m I$ とする．角 $alpha$，$eta$ を求めよ．
練習の解答
$ m I$ は内心より $angle m{ABI}=angle m{CBI}=19^{circ}$，$angle m{CAI}=angle m{BAI}=20^{circ}$ なので
$angle m{ACB}=180^{circ}-19^{circ} imes 2-20^{circ} imes 2=102^{circ}$
$ herefore angle m{ACI}=angle m{BCI}=51^{circ}$
$alpha=51^{circ}+19^{circ}=oldsymbol{70^{circ}}$
$eta=180^{circ}-51^{circ}-20^{circ}=oldsymbol{109^{circ}}$
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