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在无穷大的极限 limx→正无穷怎么算

在无穷大的极限

在无穷大的极限

你应该先去看 极限(入门)

无穷大 是个非常特别的概念。我们知道不能达到无穷大,但我们可以尝试去求含有无穷大的函数的值。一除以无穷大

我们先看一个有趣的例子。

问题:1∞ 的值是多少? 答案:不知道!

 

为什么不知道?

最简单的答案是:无穷大不是个数,它是个概念。

所以1∞ 就好像1美 或 1高一样。

我们也许可以说1∞= 0 …… 但这样也不对,因为如果我们把 1 切开成无穷多的部分而每个部分都是 0,那么整体怎么会是 1 呢?

其实1∞ 是 未定义的。

但我们可以趋近它!

我们无法计算在无穷大的值(因为得不到合理的答案),我们尝试用越来越大的 x值:

x1x11.0000020.5000040.25000100.100001000.010001,0000.0010010,0000.00010  

当 x 越来越大时,1x 越来越接近 0

这很有意思:

我们不能说"当" x 是无穷大时的情形是什么但我们可以看到 1x 趋近 0

我们想说答案是 "0",但我们不可以,所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形:

当 x 趋近无穷大时,1x 的 极限 是 0

写下来是

换句话说:

换句话说:1x 趋近 0

 

当你看到 "极限" 时,想:"趋近"

 

用数学的语言来说:"我们不是说在 x=∞,但我们知道当 x 越来越大时,答案便越来越接近 0"。

总结

所以,有时我们不能直接用无穷大,但是我们可以用极限。

在 ∞ 的情形是 未定义的 …… 1x    …… 但我们知道当 x 趋近无穷大时,1/x 趋近 0  

 

趋近无穷大时的极限

当 x 趋近无穷大时,这个函数的极限是什么?

y = 2x

若 "x" 越来越大,"2x" 也越来越大:

xy=2x1224481020100200......

所以当 "x" 趋近无穷大时,"2x" 也趋近无穷大。我们这样写:

 不要被这个 "="号迷惑了!我们其实无法达到无穷大,但在 "极限" 的语言里,极限是无穷大 (意思其实是函数没有极限)。

 

无穷大和次数

上面我们分析了两个例子,一个趋近 0,另一个趋近无穷大。

实际上,很多无穷大的极限是很容易求的,只要我们知道函数的 "走势",像这样

当 x 趋近无穷大时,像 1/x 的函数趋近 0 。像 /x2 等的函数也一样   像 x 的函数会趋近无穷大,2x 或 x/9 等函数也一样。同样,含有 x2 或 x3 等的函数也会趋近无穷大。   但要小心,函数 "−x" 趋近 "负无穷大",所以我们要留意 x 的正负号。

例子: 2x2−5x

2x2 趋近 +无穷大 −5x 趋近 −无穷大 但 x2 增加得比 x 快,所以 2x2−5x 会趋近 +无穷大

如果我们留意函数的 次数 (函数里最高的 指数),我们便可以知道答案:

如果函数的次数是:

大于 0,极限是无穷大(或 −无穷大)小于 0,极限是0

但是,如果次数是 0 或未知值,情形便会复杂一点。

有理函数有理函数 是两个多项式的比:     例如,在这里 P(x) = x3 + 2x − 1, Q(x) = 6x2: 

根据上面 方程的次数 概念,求极限的第一步是……

比较 P(x) 和 Q(x) 的次数:如果 P 的次数小于 Q 的次数…………极限是 0。如果 P 的次数等于 Q 的次数……

……用最高指数的项的系数相除,像这样:

(注意因为次数是相同的,所以最大的指数也是相同的。)

如果 P 的次数大于 Q 的次数…………极限是正无穷大……  ……或负无穷大。不要忘了看正负号!

要确定极限是正还是负,我们看有最大指数的项的正负号,好像在上面找系数一样:

 

例如,这个会趋近正无穷大,因为……

x3 (上面有最大指数的项) 和 6x2 (下面有最大指数的项)……都有正号。    但这个函数的极限是负无穷大,因为 −2/5 是负数。比较难的例子:求 "e"

有一个 e (欧拉数) 的公式是基于无穷大和这个公式的:

(1+ 1/n)n

在无穷大: (1+1/∞)∞ = ??? …… 不知道!

所以我们不求"在"的值,我们尝试用越来越大的 n值:

n(1 + 1/n)n12.0000022.2500052.48832102.593741002.704811,0002.7169210,0002.71815100,0002.71827

结果趋近 2.71828...,这就是 e (欧拉数) 的值。

我们又看到这个现象了:

我们不知道函数在 n=无穷大 的值但我们看到结果趋近 2.71828……

因此,我们用极限来表达答案:

用数学的语言来说:"我们不是说当 n=∞,但我们知道当 n 越来越大时,答案便越来越接近 e" 的值。

不要犯错 …… !

在图和列列表上我们看到当 n 越来越大时,函数趋近 2.71828……

但如果我们想把无穷大当作一个 "很大的实数" (它不是!),我们会得到:

(1+1/∞)∞ = (1+0)∞ = (1)∞ = 1 (大错特错!)

故事的寓意是:不要把无穷大当作一个实数:你会得到错误的答案!

极限才是正途。

极限求值

我在这里比较随和地解释了极限,也使用了图和列表来做示范。

但计算极限的值("求值")就没有那么简单了,你可以去 极限求值 了解

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