几何分析研讨课
课程编码：B0111008Z-02 英文名称：Seminar on Geometric Analysis 课时：60 学分：4.00 课程属性：专业必修课 主讲教师：-
教学目的要求 本研讨课的目的是学习几何分析中若干前沿课题中的重要成果，以培养有志于从事几何分析领域研究的优秀学生。要求学生认真听课、在指导教师的安排下阅读文献并作现场报告。
预修课程 数学分析、线性代数、微分几何
主要内容
1. 黎曼几何：黎曼流形、Levi-Civita联络、Riemann曲率、平行移动、测地线、第二变分与Jacobi场、de Rham上同调、Hodge同构定理、Bochner 公式、消灭定理、曲率与拓扑、Gauss-Bonnet-Chern公式
2. Morse理论：光滑函数的临界点、Morse引理、Morse指标、Morse不等式、 Wit ten形变与Morse不等式的证明
3. Ricci流：曲面上的Ricci流、Harnack不等式与熵的单调性、利用Ricci流证明单值化定理、n维Ricci曲率流、Harnack不等式与W-熵的单调性、Poincare猜想简介
4. Einstein场方程与Yang-Mills联络：Einstein场方程的推导、规范场、Yang-Mills泛函、Yang-Mills联络及其应用：Donaldson定理
要求学生全面掌握黎曼几何基本内容、基本掌握Morse理论、对于曲率流流、Einstein场方程与Yang-Mills理论只要求初步了解。
课时分配
每周三个课时，每个课时讲授一个单元的内容， 具体的时间安排如下：
第1周：第一章 黎曼流形、Levi-Civita联络、Riemann曲率
第2周：第一章 平行移动、测地线、第二变分与Jacobi场
第3周：第一章 de Rham 上同调、Hodge同构定理
第4周：第一章 Bochner 公式、消灭定理、曲率与拓扑
第5周：第一章 Gauss-Bonnet-Chern公式
第6周：第二章 光滑函数的临界点、Morse引理
第7周：第二章 Morse 指标、Morse不等式、Witten形变
第8周：第二章 Witten形变与Morse不等式的证明(I)
第9周：第二章 Witten形变与Morse不等式的证明(II)
第10周：第三章 曲面上的Ricci流 (定义、例子、存在性、唯一性、正则性)
第11周：第三章 曲面上Ricci流的Harnack不等式与熵的单调性
第12周：第三章 利用Ricci曲率流给出单值化定理的证明
第13周：第三章 n维Ricci曲率流(定义、例子、存在性、唯一性、正则性)
第14周：第三章 Ricci流的Harnack不等式
第15周：第三章 Ricci流的W-熵与 Poincare猜想的证明简介
第16周：第四章Einstein场方程的推导
第17周：第四章规范场简介、Yang-Mills 泛函
第18周：第四章Yang-Mills联络及其应用：Donaldson定理
课程思政 1. 培养和引导学生学习几何分析理论的兴趣并安排学生阅读文献。 2. 培养学生从事科研工作的能力，在阅读文献的基础上培养学生发现问题、解决问题 3. 帮助学生了解科研， 树立远大理想：攻城不怕坚、攻书莫畏难。科学有险阻，苦战能过关。 （叶剑英元帅语） 在科学上没有平坦的道路，只有不畏艰险勇于攀登的人，才能到达科学的顶点。（马克思语）
教材
参考文献 1. J. Milnor, Morse theory, Princeton University Press, 19692. J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer, 2000. 3. B. Andrews, C. Hopper, The Ricci Flow in Riemannian Geometry: A Complete Proof of the Differentiable 1/4-Pinching Sphere Theorem, Springer, 2011.在第三章和第四章， 将阅读原始文献及相关参考书， 在此省略。
课程教师信息 李向东，长期从事随机分析与微分几何交叉研究方向（随机微分几何）的研究。1999年博士毕业于中科院应用数学所及葡萄牙里斯本大学，2000-2003年在英国牛津大学数学研究所从事博士后研究、2004年获得法国图卢兹大学Maitre de Conference（相当于副教授）职位、2007年年获得法国图卢兹大学Habilitation（指导研究证书，相当于原法国国家博士学位）。2008-2009年任复旦大学数学科学院教授。2009年12月至今，先后任中科院数学与系统科学研究院百人计划研究员、华罗庚应用数学首席研究员、二级研究员。自2012年以来，先后在中国科学院大学给本科生和研究生主讲微积分A、微分几何、应用数学研讨班（遍历论）、应用数学研讨班（布朗运动与熵）、随机分析、最优传输问题及其应用、随机微分几何等课程。曾获得国科大研究生优秀教师奖、朱李月华优秀教师奖、2023届国科大本科生优秀毕业论文指导教师奖。
其它说明 考试方式：每个学生在主讲教师的安排下阅读文献，并作现场报告考试成绩：根据每个学生阅读文献的难易程度及现场读书报告的效果给成绩