Wiki - RSA加密演算法Wiki - 欧拉函数Wiki - 模反元素ASN.1 格式标准RSA算法原理（二）
注意：
RSA 加密或签名后的结果是不可读的二进制，使用时经常会转为 BASE64 码再传输。RSA 加密时，对要加密数据的大小有限制，最大不大于密钥长度。例如在使用 1024 bit 的密钥时（genrsa -out rsa_private_key.pem 1024），最大可以加密 1024/8=128 Bytes 的数据。数据大于 128 Bytes 时，需要对数据进行分组加密（如果数据超限，加解密时会失败，openssl 函数会返回 false），分组加密后的加密串拼接成一个字符串后发送给客户端。为了保证每次加密的结果都不同，RSA 加密时会在待加密数据后拼接一个随机字符串，再进行加密。不同的填充方式 Padding 表示这个字符串的不同长度，在对超限数据进行分组后，会按照这个 Padding 指定的长度填入随机字符串。例如如果 Padding 填充方式使用默认的 OPENSSL_PKCS1_PADDING（需要占用 11 个字节用于填充），那么明文长度最多只能就是 128-11=117 Bytes。一般默认使用 OPENSSL_PKCS1_PADDING。PHP 支持的 Padding 有 OPENSSL_PKCS1_PADDING、OPENSSL_SSLV23_PADDING、OPENSSL_PKCS1_OAEP_PADDING 和 OPENSSL_NO_PADDING。接收方解密时也需要分组。将加密后的原始二进制数据（对于经过 BASE64 的数据，需要解码），每 128 Bytes 分为一组，然后再进行解密。解密后，根据 Padding 的长度丢弃随机字符串，把得到的原字符串拼接起来，就得到原始报文。原理RSA 算法的可靠性基础：对极大整数做因数分解是很困难的。
RSA 是非对称算法，加解密使用不同的密钥。
两个密钥都可以用于加密，解密时需要使用另一个密钥。但是，通常用公钥加密私钥解密，因为公钥是近乎完全公开的，对于私钥加密的数据，有太多的人可以解密了。理论上 A 和 B 之间要通过 RSA 实现保密通信，需要 A 和 B 各自生成一组密钥，同时保管好自己的私钥；用对方的公钥加密要发送的消息，用自己的私钥解密对方发送过来的消息。
在签名的场景下，用私钥签名，公钥验签。
RSA 比 DES 等对称算法慢得多。一般在实际数据传输时，用 RSA 来加密比较短的对称密码，双方交换密码后再使用 DES 等对称算法传输数据。
互质关系如果两个正整数，除了 1 以外没有其他公因子，就称这两个数是互质关系。比如 3 和 5，13 和 31 等。
欧拉函数Wiki - 欧拉函数
欧拉函数：求小于 N{displaystyle N}N 的正整数中与 N{displaystyle N}N 互质的数的数目。
例如，对应 8，与 8 互质的数有 1，3，5，7，所以 φ(N){displaystyle varphi (N)}φ(N) = 4。
RSA 算法使用了欧拉函数的一个特例：如果 N{displaystyle N}N 可以分解成两个互质的整数之积：N=pq{displaystyle N=pq}N=pq则φ(N)=φ(p)φ(q)=(p−1)(q−1){displaystyle varphi (N)=varphi (p)varphi (q)=(p-1)(q-1)}φ(N)=φ(p)φ(q)=(p−1)(q−1)比如，φ(35947)=φ(103)φ(349)=(102)(348)=35496{displaystyle varphi (35947)=varphi (103)varphi (349)=(102)(348)=35496}φ(35947)=φ(103)φ(349)=(102)(348)=35496。
模反元素Wiki - 模反元素
如果两个正整数 aaa 和 nnn 互质，那么一定可以找到整数 bbb，使得 ab−1ab-1ab−1 被 nnn 整除：ab≡1(modn)abequiv 1{pmod {n}}ab≡1(modn)这时，bbb 就叫做 aaa 的"模反元素"。
欧拉定理证明当 a,n{displaystyle a,n}a,n 为两个互素的正整数时，则有 aφ(n)≡1(modn){displaystyle a^{varphi (n)}equiv 1{pmod {n}}}aφ(n)≡1(modn)，其中 φ(n){displaystyle varphi (n)}φ(n) 为欧拉函数（小于等于 n{displaystyle n}n 且与 n{displaystyle n}n 互素的正整数个数）。
上述结果可分解为 aφ(n)=a⋅aφ(n)−1≡1(modn){displaystyle a^{varphi (n)}=acdot a^{varphi (n)-1}equiv 1{pmod {n}}}aφ(n)=a⋅aφ(n)−1≡1(modn)，其中 aφ(n)−1{displaystyle a^{varphi (n)-1}}aφ(n)−1 即为 a{displaystyle a}a 关于模 n{displaystyle n}n 之模反元素。
举例求整数 3 对同余 11 的模逆元素 x,x≡3−1(mod11){displaystyle xequiv 3^{-1}{pmod {11}}}x≡3−1(mod11)上述方程可变换为3x≡1(mod11){displaystyle 3xequiv 1{pmod {11}}}3x≡1(mod11)在整数范围 Z11{displaystyle mathbb {Z} _{11}}Z11 内，可以找到满足该同余等式的 xxx 值为4，如下式所示3(4)=12≡1(mod11){displaystyle 3(4)=12equiv 1{pmod {11}}}3(4)=12≡1(mod11)并且，在整数范围 Z11{displaystyle mathbb {Z} _{11}}Z11 内不存在其他满足此同余等式的值。
故，整数3对同余11的模逆元素为4。
生成公钥和私钥随意选择两个大的质数 p{displaystyle p}p 和 q{displaystyle q}q，p{displaystyle p}p 不等于 q{displaystyle q}q，计算 N=pq{displaystyle N=pq}N=pq。根据欧拉函数，求得 r=φ(N)=φ(p)φ(q)=(p−1)(q−1){displaystyle r=varphi (N)=varphi (p)varphi (q)=(p-1)(q-1)}r=φ(N)=φ(p)φ(q)=(p−1)(q−1)选择一个小于 r{displaystyle r}r 的整数 e{displaystyle e}e，使 e{displaystyle e}e 与 r{displaystyle r}r 互质。并求得 e{displaystyle e}e 关于 r{displaystyle r}r 的模反元素，命名为 d{displaystyle d}d（求 d{displaystyle d}d 令 ed≡1(modr)ed≡1(modr){displaystyle edequiv 1{pmod {r}}} {displaystyle edequiv 1{pmod {r}}}ed≡1(modr)ed≡1(modr)）。（模反元素存在，当且仅当 e{displaystyle e}e 与 r{displaystyle r}r 互质）将 p{displaystyle p}p 和 q{displaystyle q}q 的记录销毁。(N,e){displaystyle (N,e)}(N,e) 是公钥， (N,d){displaystyle (N,d)}(N,d) 是私钥。公钥发送给所有的通信对象（对服务器来说就是所有的客户端），私钥则必须保管好，防止泄露。
加密消息假设客户端要向服务器发送消息 m{displaystyle m}m，服务器的公钥是 N{displaystyle N}N 和 e{displaystyle e}e。客户端将消息 m{displaystyle m}m 转换为一个小于 N{displaystyle N}N 的非负整数 n{displaystyle n}n，比如可以将每一个字转换为这个字的 Unicode 码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如信息非常长的话，可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为 n{displaystyle n}n。用下面这个公式他可以将 n{displaystyle n}n 加密为 c{displaystyle c}c：c≡ne(modN){displaystyle cequiv n^{e}{pmod {N}}}c≡ne(modN)计算 c{displaystyle c}c 并不复杂。客户端算出 c{displaystyle c}c 后就可以将它传递给服务器。
解密消息得到消息 c{displaystyle c}c 后，可以利用密钥 d{displaystyle d}d 来解码。可以用以下这个公式来将 c{displaystyle c}c 转换为 n{displaystyle n}n：cd≡n (mod N){displaystyle c^{d}equiv n (mathrm {mod} N)}cd≡n (mod N)得到 n{displaystyle n}n 后，可以将原来的信息 m{displaystyle m}m 重新复原。
解码的原理是：cd≡ne⋅d (mod N){displaystyle c^{d}equiv n^{ecdot d} (mathrm {mod} N)}cd≡ne⋅d (mod N)已知 ed≡1(modr){displaystyle edequiv 1{pmod {r}}}ed≡1(modr)，即 ed=1+hφ(N){displaystyle ed=1+hvarphi (N)}ed=1+hφ(N)。由欧拉定理得：
ned=n1+hφ(N)=n(nφ(N))h≡n(1)h(modN)≡n(modN){displaystyle n^{ed}=n^{1+hvarphi (N)}=nleft(n^{varphi (N)} ight)^{h}equiv n(1)^{h}{pmod {N}}equiv n{pmod {N}}}ned=n1+hφ(N)=n(nφ(N))h≡n(1)h(modN)≡n(modN)
签名消息RSA 也可以用来为一个消息签名。
对消息字符串的散列值（Message digest，用 MD5、SHA256 等算法求得的长度较短且固定的字符串）使用 RSA 的私钥计算签名（实际上仍然是加密消息）后，得到一个签名字符串，将其附加在消息字符串的合适位置后，一并发送。接收方使用对应的公钥可以从签名字符串中解密出原来的散列值，同时对原始消息再计算一次散列值。二者相比较，假如两者相符的话，则认为发信人持有正确的私钥，并且这个消息在传播路径上没有被篡改过。
密钥长度用户应使用 1024 位密钥，证书认证机构应用 2048 位或以上。
特点RSA 之所以叫非对称算法，是因为加密和解密的密钥不一样。任何一个密钥都可以用来加密。
公钥和私钥通过私钥可以轻松计算出公钥，反之不行。
随机选择两个不相等的质数 p{displaystyle p}p 和 q{displaystyle q}q，p{displaystyle p}p 不等于 q{displaystyle q}q，计算 N=pq{displaystyle N=pq}N=pq。这里选择 103 和 349。N=pq{displaystyle N=pq}N=pq = 35947。N{displaystyle N}N 的长度就是密钥长度。35947 对应的二进制是 1000110001101011，一共有 16 位，所以这个密钥就是 16 位。实际应用中 RSA 密钥一般是1024位。计算 N{displaystyle N}N 的欧拉函数 φ(N){displaystyle varphi (N)}φ(N)。r=φ(35947)=φ(103)φ(349)=(102)(348)=35496{displaystyle r=varphi (35947)=varphi (103)varphi (349)=(102)(348)=35496}r=φ(35947)=φ(103)φ(349)=(102)(348)=35496。选择一个小于 r{displaystyle r}r 的整数 e{displaystyle e}e，使 e{displaystyle e}e 与 r{displaystyle r}r 互质，这里取 e=773{displaystyle e=773}e=773。求 e{displaystyle e}e 关于 r{displaystyle r}r 的模反元素，命名为 d{displaystyle d}d（求 d{displaystyle d}d 令 ed≡1(modr)ed≡1(modr){displaystyle edequiv 1{pmod {r}}} {displaystyle edequiv 1{pmod {r}}}ed≡1(modr)ed≡1(modr)）。最终转为 773d-1=35496k 这个二元一次方程，求得一组解(d,k)=(45,1)。将 (N,e){displaystyle (N,e)}(N,e) 封装成公钥， (N,d){displaystyle (N,d)}(N,d) 封装成私钥。所以公钥就是 (35496 ,773)，私钥就是（35496 , 45）。加密和解密用公钥加密时，私钥可以解密。反之亦然，私钥加密后的信息用公钥可以解密。
签名和验签操作如果是对接其他平台提供的标准接口，如果这个接口用到了 RSA 加密，则需要这个平台提供对应的公钥。
Linux 下通过 OpenSSL 生成 RSA 公钥和私钥需要提前在 Linux 上安装 OpenSSL，默认生成在当前用户家目录下：
[root@VM_120_242_centos ~]# openssl OpenSSL> genrsa -out app_private_key.pem 1024 # 生成私钥Generating RSA private key, 1024 bit long modulus.++++++........++++++e is 65537 (0x10001)OpenSSL> rsa -in app_private_key.pem -pubout -out app_public_key.pem # 生成公钥writing RSA keyOpenSSL> exit对于 PHP 可以直接使用上面生成的原始私钥。但是 Java 需要将私钥转换成 PKCS8 格式，然后将生成的 PKCS8 格式的私钥去除头尾、换行和空格，作为私钥字符串填入代码中：
OpenSSL> pkcs8 -topk8 -inform PEM -in app_private_key.pem -outform PEM -nocrypt -out app_private_key_pkcs8.pem # 私钥转成 PKCS8 格式查看生成的文件：
[root@VM_120_242_centos ~]# ll总用量 1064-rw-r--r-- 1 root root 887 6月 14 11:25 app_private_key.pem-rw-r--r-- 1 root root 272 6月 14 11:25 app_public_key.pem查看公钥：
-----BEGIN PUBLIC KEY-----MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQC3//sR2tXw0wrC2DySx8vNGlqt3Y7ldU9+LBLI6e1KS5lfc5jlTGF7KBTSkCHBM3ouEHWqp1ZJ85iJe59aF5gIB2klBd6h4wrbbHA2XE1sq21ykja/Gqx7/IRia3zQfxGv/qEkyGOx+XALVoOlZqDwh76o2n1vP1D+tD3amHsK7QIDAQAB-----END PUBLIC KEY-----转成 PKCS8 格式的公钥字符串为：
MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQC3//sR2tXw0wrC2DySx8vNGlqt3Y7ldU9+LBLI6e1KS5lfc5jlTGF7KBTSkCHBM3ouEHWqp1ZJ85iJe59aF5gIB2klBd6h4wrbbHA2XE1sq21ykja/Gqx7/IRia3zQfxGv/qEkyGOx+XALVoOlZqDwh76o2n1vP1D+tD3amHsK7QIDAQAB查看私钥：
-----BEGIN RSA PRIVATE KEY-----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-----END RSA PRIVATE KEY-----