正弦函数 y = sin x y=sin x y=sinx quad ( x ∈ [ − π 2 , π 2 ] xin[-frac{π}{2},frac{π}{2}] x∈[−2π,2π])的反函数叫反正弦函数 记作 y = arcsin x y=arcsin x y=arcsinx, ( x ∈ [ − 1 , 1 ] xin[-1,1] x∈[−1,1], y ∈ [ − π 2 , π 2 ] yin[-frac{π}{2},frac{π}{2}] y∈[−2π,2π]) 或 y = sin y=sin y=sin-1 x x x
注意区分: ( sin x ) (sin x) (sinx)-1= 1 sin x frac{1}{sin x} sinx1 quad sin sin sin-1 x x x = arcsin x arcsin x arcsinx
当 x ∈ [ − 1 , 1 ] xin[-1,1] x∈[−1,1] 时, quad arcsin ( − x ) = − arcsin x arcsin(-x)=-arcsin x arcsin(−x)=−arcsinx 当 x ∈ [ − π 2 , π 2 ] xin[-frac{π}{2},frac{π}{2}] x∈[−2π,2π]时, quad arcsin ( sin x ) = x arcsin(sin x)=x arcsin(sinx)=x 当 x ∈ [ − 1 , 1 ] xin[-1,1] x∈[−1,1]时, quad quad sin ( arcsin x ) = x sin(arcsin x)=x sin(arcsinx)=x
quad quad
1.2反余弦函数正弦函数 y = cos x y=cos x y=cosx quad ( x ∈ [ 0 , π ] xin[0,π] x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数 记作 y = arccos x y=arccos x y=arccosx, ( x ∈ [ − 1 , 1 ] xin[-1,1] x∈[−1,1], y ∈ [ 0 , π ] yin[0,π] y∈[0,π]) 或 y = cos y=cos y=cos-1 x x x
反余弦函数是严格单调递减, 有界的非奇非偶函数, 它的图像关于点(0, π 2 frac{π}{2} 2π)中心对称, 所以 y 1 y_1 y1+ y 2 y_2 y2= π
当 x ∈ [ − 1 , 1 ] xin[-1,1] x∈[−1,1]时, quad cos cos cos-1(-x) = π − cos =π-cos =π−cos-1x 当 x ∈ [ 0 , π ] xin[0,π] x∈[0,π] 时, quad cos cos cos-1 ( cos x ) = x (cos x)=x (cosx)=x 当 x ∈ [ − 1 , 1 ] xin[-1,1] x∈[−1,1]时, quad cos cos cos( cos cos cos-1 x x x) = x =x =x 当 x ∈ [ − 1 , 1 ] xin[-1,1] x∈[−1,1]时, quad sin sin sin( cos cos cos-1 x x x) = 1 − x 2 sqrt{1-x^2} 1−x2
最后一个公式的证明过程 令 y= cos cos cos-1 x x x quad x ∈ [ 0 , π ] xin[0,π] x∈[0,π] sin sin sin( cos cos cos-1 x x x) = sin y sin y siny = 1 − cos 2 y sqrt{1-cos^2y} 1−cos2y = 1 − x 2 sqrt{1-x^2} 1−x2
quad quad
1.3反正切函数正切函数 y = tan x y= an x y=tanx quad ( x ∈ [ − π 2 , π 2 ] xin[-frac{π}{2},frac{π}{2}] x∈[−2π,2π])的反函数叫反正切函数 记作 y = arctan x y=arctan x y=arctanx, ( x ∈ R xin R x∈R, y ∈ [ − π 2 , π 2 ] yin[-frac{π}{2},frac{π}{2}] y∈[−2π,2π]) 或 y = tan y= an y=tan-1 x x x
当 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) xin(-infty,infty) x∈(−∞,∞)时, quad arctan ( − x ) = − arctan x arctan(-x)=-arctan x arctan(−x)=−arctanx 当 x ∈ ( − π 2 , π 2 ) xin(-frac{π}{2},frac{π}{2}) x∈(−2π,2π)时, quad arctan ( tan x ) = x arctan( an x)=x arctan(tanx)=x 当 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) xin(-infty,infty) x∈(−∞,∞)时, quad tan ( arctan x ) = x an(arctan x)=x tan(arctanx)=x
quad quad
1.4反余切函数余切函数 y = cot x y=cot x y=cotx quad ( x ∈ [ 0 , π ] xin[0,π] x∈[0,π])的反函数叫反余切函数 记作 y = cot y=cot y=cot-1x, ( x ∈ R xin R x∈R, y ∈ [ 0 , π ] yin[0,π] y∈[0,π])
当 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) xin(-infty,infty) x∈(−∞,∞)时, quad cot cot cot-1(-x) = π- cot cot cot-1x 当 x ∈ ( 0 , π ) xin(0,π) x∈(0,π)时, quad quad quad cot cot cot-1( cot x cot x cotx) = x x x 当 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) xin(-infty,infty) x∈(−∞,∞)时, quad cot cot cot( cot cot cot-1 x x x) = x x x 当 x ∈ ( − ∞ , 0 ) xin(-infty,0) x∈(−∞,0) ∪ cup ∪(0, ∞ infty ∞)时, quad tan ( cot an(cot tan(cot-1 x x x) = 1 x frac{1}{x} x1, quad cot ( tan cot( an cot(tan-1 x x x) = 1 x frac{1}{x} x1 当 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) xin(-infty,infty) x∈(−∞,∞)时, quad tan an tan-1 x x x + cot cot cot-1 x x x = π 2 frac{π}{2} 2π
补充 tan an tan-1 x x x + cot cot cot-1 x x x = π 2 frac{π}{2} 2π sin sin sin-1 x x x + cos cos cos-1 x x x = π 2 frac{π}{2} 2π
quad quad
二.反函数原函数 quad 对应 quad 反函数 y=f(x) quad quad quad quad quad y=f-1(x) x quad quad quad quad quad quad quad y y quad quad quad quad quad quad quad x 定义域 quad quad quad quad quad 值域 值域 quad quad quad quad quad 定义域
图像关于y=x轴对称,原函数与反函数单调性同增同减
求解反函数的方法 (1)把y当作常数, 将函数看作是一个方程, 求出变量x (2)把x和y对调
quad quad 例题1:
(1) arcsin ( − 1 ) arcsin(-1) arcsin(−1) ∵ ecause ∵-1 ∈ in ∈[-1,1] sin ( − π 2 ) sin(-frac{π}{2}) sin(−2π)=-1 ∴ herefore ∴ arcsin ( − 1 ) arcsin(-1) arcsin(−1) = − π 2 -frac{π}{2} −2π
(2) arcsin ( − 3 2 ) arcsin(-frac{sqrt{3}}{2}) arcsin(−23 ) ∵ ecause ∵ − 3 2 -frac{sqrt{3}}{2} −23 ∈ in ∈[-1,1] sin ( − π 3 ) sin(-frac{π}{3}) sin(−3π)= − 3 2 -frac{sqrt{3}}{2} −23 ∴ herefore ∴ arcsin ( − 3 2 ) arcsin(-frac{sqrt{3}}{2}) arcsin(−23 ) = − π 3 -frac{π}{3} −3π
(3) arccos ( 2 2 ) arccos(frac{sqrt{2}}{2}) arccos(22 ) ∵ ecause ∵ 2 2 frac{sqrt{2}}{2} 22 ∈ in ∈[-1,1] cos ( π 4 ) = 2 2 cos(frac{π}{4})=frac{sqrt{2}}{2} cos(4π)=22 ∴ herefore ∴ arccos ( 2 2 ) arccos(frac{sqrt{2}}{2}) arccos(22 ) = π 4 frac{π}{4} 4π
(4) arccos 0 arccos0 arccos0 ∵ ecause ∵ 0 ∈ in ∈[-1,1] cos ( π 2 ) = 0 cos(frac{π}{2})=0 cos(2π)=0 ∴ herefore ∴ arccos ( 0 ) arccos(0) arccos(0) = π 2 frac{π}{2} 2π
(5) arctan 3 3 arctanfrac{sqrt{3}}{3} arctan33 ∵ ecause ∵ 3 3 frac{sqrt{3}}{3} 33 ∈ in ∈ ( − ∞ , ∞ ) (-infty,infty) (−∞,∞) tan π 6 anfrac{π}{6} tan6π = 3 3 frac{sqrt{3}}{3} 33 ∴ herefore ∴ arctan 3 3 arctanfrac{sqrt{3}}{3} arctan33 = π 6 frac{π}{6} 6π
quad quad 例题2: (1) sin [ arcsin ( − 1 2 ) ] sin[arcsin(-frac{1}{2})] sin[arcsin(−21)] − 1 2 -frac{1}{2} −21
(2) arccos ( cos 11 π 6 ) arccos(cosfrac{11π}{6}) arccos(cos611π) cos 11 π 6 cosfrac{11π}{6} cos611π = cos ( − π 6 ) cos(-frac{π}{6}) cos(−6π) = cos ( π 6 ) cos(frac{π}{6}) cos(6π) = 3 2 frac{sqrt{3}}{2} 23 ∴ herefore ∴ arccos ( 3 2 ) arccos(frac{sqrt{3}}{2}) arccos(23 ) = π 6 frac{π}{6} 6π
quad quad 例题3: 求下列函数的反函数 方法: 先求出自变量为y的方程, 再把x和y互换
(1) y = x − 1 x + 1 y=frac{x-1}{x+1} y=x+1x−1 => y ( x + 1 ) = x − 1 y(x+1)=x-1 y(x+1)=x−1 => y x + y = x − 1 yx+y=x-1 yx+y=x−1 => y x − x = − y − 1 yx-x=-y-1 yx−x=−y−1 => x ( y − 1 ) = − y − 1 x(y-1)=-y-1 x(y−1)=−y−1 => x = − y − 1 y − 1 x=frac{-y-1}{y-1} x=y−1−y−1 整理(上下同乘-1) => x = 1 + y 1 − y x=frac{1+y}{1-y} x=1−y1+y => y = 1 + x 1 − x y=frac{1+x}{1-x} y=1−x1+x
(2) y = e y=e y=e2x => ln y = 2 x ln y=2x lny=2x => x = ln y 2 x=frac{ln y}{2} x=2lny => y = ln x 2 y=frac{ln x}{2} y=2lnx
(3) y = ln ( x + x 2 + 1 ) y=ln(x+sqrt{x^2+1}) y=ln(x+x2+1 ) => e y = x + x 2 + 1 e^y=x+sqrt{x^2+1} ey=x+x2+1 => e y − x = x 2 + 1 e^y-x=sqrt{x^2+1} ey−x=x2+1 => e2y+ x 2 − 2 x e y = x 2 + 1 x^2-2xe^y=x^2+1 x2−2xey=x2+1 => e2y − 2 x e y = 1 -2xe^y=1 −2xey=1 => e y ( e y − 2 x ) = 1 e^y(e^y-2x)=1 ey(ey−2x)=1 => e y − 2 x = 1 e y e^y-2x=frac{1}{e^y} ey−2x=ey1 => x = e y − 1 e y 2 x=frac{e^y-frac{1}{e^y}}{2} x=2ey−ey1
(4) y = sin 3 x y=sin3x y=sin3x => 3 x = arcsin y 3x=arcsin y 3x=arcsiny => x = 1 3 arcsin y x=frac{1}{3}arcsin y x=31arcsiny => y = 1 3 arcsin x y=frac{1}{3}arcsin x y=31arcsinx
(5) y = arcsin 3 x y=arcsin3x y=arcsin3x => 3 x = sin y 3x=sin y 3x=siny => x = sin y 3 x=frac{sin y}{3} x=3siny => y = 1 3 sin x y=frac{1}{3}sin x y=31sinx