仅用于记录自己学习过程
一、概率论的公理化定义 1.公理化定义设S是随机试验E的样本空间.按照某种方法，对随机试验E的每一个事件A赋予一个实数P(A)，且满足以下三条公理： ( 1 ) 非 负 性 对 任 意 事 件 A ， 有 P ( A ) ⩾ 0 ; ( 2 ) 规 范 性 对 必 然 事 件 S ， 有 P ( S ) = 1 ; ( 3 ) 可 列 可 加 性 对 于 两 两 互 不 相 容 的 可 列 多 个 事 件 A 1 , A 2 , … A k … ， 有 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A k ∪ … ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + … + P ( A k ) + … (1) 非负性qquad对任意事件A，有P(A) geqslant0 quad;\ (2)规范性 qquad对必然事件S，有P(S)=1quad;\ (3)可列可加性qquad对于两两互不相容的可列多个事件A_1,A_2,…A_k…，\ qquad有P(A_1cup A_2cup …cup A_k cup…)=P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_k)+… (1)非负性对任意事件A，有P(A)⩾0;(2)规范性对必然事件S，有P(S)=1;(3)可列可加性对于两两互不相容的可列多个事件A1,A2,…Ak…，有P(A1∪A2∪…∪Ak∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)+… 则称实数P(A)为事件A的概率 个人感觉，虽然3条公理仅仅对概率是什么做了一个说明，对于具体的概率计算，其并没有给出相应的证明。
2.性质 由公理化定义可导出几条非常基本而又重要的性质。如下： 性 质 一 : 对 不 可 能 事 件 ∅ , 有 P ( ∅ ) = 0. 性 质 二 : 设 A 1 , A 2 , … A n 是 两 两 互 不 相 容 的 n 个 事 件 ， 则 有 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + … + P ( A n ) . 性 质 三 : 对 任 意 事 件 A ， 有 P ( A ) = 1 − P ( A ‾ ) . 性 质 四 : 设 A , B 是 两 个 事 件 ， 且 B ⊂ A , 则 有 P ( A − B ) = P ( A ) − P ( B ) ; P ( B ) ⩽ P ( A ) . 性 质 五 : 对 任 意 事 件 A ， 有 P ( A ) ⩽ 1. 性 质 六 : 对 任 意 两 个 事 件 A , B 有 , P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) . 性质一:qquad对不可能事件varnothing,有P(varnothing)=0.\ 性质二:qquad设A_1,A_2,…A_n是两两互不相容的n个事件，则有\ qquadqquadquadquad P(A_1cup A_2cup …cup A_n )=P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_n).\ 性质三:qquad 对任意事件A，有P(A)=1-P(overline{A}).\ 性质四:qquad设A,B是两个事件，且Bsubset A,则有P(A-B)=P(A)-P(B);P(B) leqslant P(A).\ 性质五:qquad对任意事件A，有P(A) leqslant 1 .\ 性质六:qquad 对任意两个事件A,B有,\ qquadqquadqquad P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(AB). 性质一:对不可能事件∅,有P(∅)=0.性质二:设A1,A2,…An是两两互不相容的n个事件，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).性质三:对任意事件A，有P(A)=1−P(A).性质四:设A,B是两个事件，且B⊂A,则有P(A−B)=P(A)−P(B);P(B)⩽P(A).性质五:对任意事件A，有P(A)⩽1.性质六:对任意两个事件A,B有,P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB). 几点理解: 1:关于性质一,其逆命题 若 P ( A ) = 0 , 则 A = ∅ color{red}xcancel{若P(A)=0,则A= varnothing} 若P(A)=0,则A=∅ 并不成立. 2:关于性质二,其形式与定义很类似.但定义时说的是无限个事件,而性质二强调的是有限个.同时,与性质六作对比可发现,性质二成立的条件是各事件互不相容. 3:由性质四条件可看出, B ⊂ A Bsubset A B⊂A还是一个比较重要的条件,结论不能随意的使用.但根据恒等式 A − B = A − A B A-B=A-AB A−B=A−AB,则可以得出一般结论: P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) color{#00bfff}P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)
二、古典概型 1.啥叫古典概型?古典概型(等可能概率模型): ①:基本事件数有限; ②:每个基本事件发生的可能性都相同
可推导出古典概型中随机事件的概率公式: P ( A ) = k n = A 包 含 的 基 本 事 件 数 基 本 事 件 总 数 P(A)=frac k n=frac {A包含的基本事件数} {基本事件总数} P(A)=nk=基本事件总数A包含的基本事件数
计算古典概型中事件A的概率时,会经常用到排列组合的知识,这边列举一下常用公式:
加法原理: ∑ i = 1 n m i displaystylesum_{i=1}^n m_i i=1∑nmi
乘法原理: ∏ i = 1 n m i displaystyleprod_{i=1}^n m_i i=1∏nmi
排列:从n各不同的元素中取出m个(不放回)元素,按一定次序排成一排,排法共有: A n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . ( n − m + 1 ) A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1) Anm=n(n−1)(n−2)...(n−m+1) 全排列: A n n = n ! A_n^n=n! Ann=n! 可重复排列:从n个不同的元素中可重复地取出m个排成一排,不同的排法有 n m n^m nm 组合:从n个不同的元素中取出m个(不放回)组成一组,不同分法有 ∁ n m = n ! m ! ( n − m ) ! complement^m_n=frac {n!} {m!(n-m)!} ∁nm=m!(n−m)!n!
2.超几何分布一个袋中装有n个球,其中 n 1 n_1 n1个球上有数字"1"(不含其他数字,以下类似), n 2 n_2 n2个球上有数字"2",…, n k n_k nk个球上有数字"k".现从中任取m个球,求所取的球中恰好有 m i m_i mi个球上有数字"i"(i=1,2,…,k)的概率P.其中 n = n 1 + n 2 + . . . + n k , m = m 1 + m 2 + . . . + m k n=n_1+n_2+...+n_k,m=m_1+m_2+...+m_k n=n1+n2+...+nk,m=m1+m2+...+mk 可得 P = ∁ n 1 m 1 ∁ n 2 m 2 ⋅ . . . ⋅ ∁ n k m k ∁ n m P=frac {complement^{m_1}_{n_1}complement^{m_2}_{n_2}cdot...cdotcomplement^{m_k}_{n_k}} {complement^{m}_{n}} P=∁nm∁n1m1∁n2m2⋅...⋅∁nkmk
总结把今天上的课稍微总结了一下,之后更新作业答案