当 f ( x ) {displaystyle f(x)} 非负递减时，级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n)} 收敛当且仅当积分 ∫ 1 ∞ f ( x ) d x {displaystyle int _{1}^{infty }f(x),dx} 有限。
它最早可追溯到14世纪印度数学家Madhava和他的Kerala学派。[来源请求]在欧洲17、18世纪，马克劳林和奥古斯丁·路易·柯西重新发现了这个方法。
证明考虑如下积分
∫ n n + 1 f ( x ) d x {displaystyle int _{n}^{n+1}f(x),dx}注意 f ( x ) {displaystyle f(x)} 单调递减，因此有：
f ( n + 1 ) ≤ ∫ n n + 1 f ( x ) d x ≤ f ( n ) {displaystyle f(n+1)leq int _{n}^{n+1}f(x),dxleq f(n)}进一步地，考虑如下求和：
∑ n = 1 k f ( n + 1 ) ≤ ∑ n = 1 k ∫ n n + 1 f ( x ) d x ≤ ∑ n = 1 k f ( n ) {displaystyle sum _{n=1}^{k}f(n+1)leq sum _{n=1}^{k}int _{n}^{n+1}f(x),dxleq sum _{n=1}^{k}f(n)}中间项的和为：
∑ n = 1 k ∫ n n + 1 f ( x ) d x = ∫ 1 k + 1 f ( x ) d x {displaystyle sum _{n=1}^{k}int _{n}^{n+1}f(x),dx=int _{1}^{k+1}f(x),dx}对上述不等式取极限 k → ∞ {displaystyle k o infty } ，有：
∑ n = 1 ∞ f ( n + 1 ) ≤ ∫ 1 ∞ f ( x ) d x ≤ ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n+1)leq int _{1}^{infty }f(x),dxleq sum _{n=1}^{infty }f(n)}因此，若积分 ∫ 1 ∞ f ( x ) d x {displaystyle int _{1}^{infty }f(x),dx} 收敛，则无穷级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n)} 收敛；若积分发散，则此级数发散。
例子调和级数
∑ n = 1 ∞ 1 n {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n}}}是发散的，因为它的原函数是自然对数。
∫ 1 M 1 x d x = ln x | 1 M = ln M → ∞ {displaystyle int _{1}^{M}{frac {1}{x}},dx=ln x{Bigr |}_{1}^{M}=ln M o infty } ，当 M → ∞ {displaystyle M o infty } 时。而以下的级数
∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + ε {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{1+varepsilon }}}}则对所有的ε > 0都是收敛的，因为：
∫ 1 M 1 x 1 + ε d x = − 1 ε x ε | 1 M = 1 ε ( 1 − 1 M ε ) ≤ 1 ε {displaystyle int _{1}^{M}{frac {1}{x^{1+varepsilon }}},dx=-{frac {1}{varepsilon x^{varepsilon }}}{iggr |}_{1}^{M}={frac {1}{varepsilon }}{Bigl (}1-{frac {1}{M^{varepsilon }}}{Bigr )}leq {frac {1}{varepsilon }}} ，对于所有 M ≥ 1. {displaystyle Mgeq 1.} 参考Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073