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教学设计课程基本信息学科 高中数学 年级 高一年级 学期 春季课题 余弦定理和正弦定理教科书 书 名：普通高中教科书 数学 必修 第二册 教材 出版社：人民教育 出版社教学目标1.通过余弦定理和正弦定理的发现和证明，体会向量的工具作用. 2.在正余弦证明和应用的过程中，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养.教学内容1.教学重点：正余弦定理的证明和应用 2.教学难点：正余弦定理的证明教学过程提出问题 对于一般的三角形，我们已经定性地研究过三角形的边角关系，得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判断三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 今天，我们利用向量来研究这个问题. 余弦定理和正弦定理的探究 探究1：在中，三个角所对应的边分别为，怎样用表示？ 向量解决几何问题分三步： 第一步 （选基底、表示） 第二步 （运算） 第三步 （翻译成几何结果） 这个式子定量的反映出两边及夹角，与第三边的数量关系.整个的推导过程，没有添加任何辅助线，非常简洁，只是利用一下向量的运算就解决了.从中，同学们可以感受到向量运算的力量了. 同理可得， 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 问题2：你还能用其他方法证明余弦定理？ 问题3：余弦定理的结构有什么特征？你能联想到之前所学的什么定理？ 边的2次，边的齐次式。余弦定理是勾股定理的推广. 问题4：观察式子 ，余弦定理可以解决中哪些类型的计算问题？ 余弦定理的推论：.余弦定理及推论把SAS，SSS判定三角形全等的方法从定量的角度进行了刻画. 探究2：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 我们从熟悉的直角三角形的边角关系分析入手.根据锐角三角函数，在中，有显然，上述关系式在一般三角形中不成立.观察发现，它们有一个共同元素，利用它把两个式子联系起来，可得 对于锐角三角形和钝角三角形，上述关系是否成立呢？ 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究. 由诱导公式可知，我们可以构造角的互余关系转化为正弦关系 下面我们先研究锐角三角形，在研究钝角三角形 正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 问题6：你还能用其他方法证明正弦定理？ 探究外接圆的几何证法，及正弦定理的常用变形 （三）巩固应用:书本例题7和例题8备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
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