定义 13.1. 假设 f 是定义在区间 I⊂R 上的实值函数, x0∈I 是一个给定的点. 如果极限h→0limhf(x0+h)−f(x0)存在, 我们就称 f 在 x0 处可导或者可微 (可微分) 并用用 f′(x0) 记这个极限. 如果 f 在任意 x∈I 处都可微, 我们就说 f 是 I 上的可微函数. 进一步, 如果 f′(x)∈C(I), 我们就说 f 是连续可微的并且将所有 I 上连续可微的函数记作 C1(I).
当导数存在时, 我们也用下面的极限来写导数: f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0).注记. 我们注意到, 如果 f 在 x0 处可微, 那么 f 在 x0 处连续: 因为x→x0lim(f(x)−f(x0))=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)x→x0lim(x−x0)=0.但是, 并不是连续的函数都可微分, 比如说函数 f(x)=∣x∣: 在 x0=0 处, 当 x>0 时, x→0limx−0x−0=1.当 x0⟶logR⟶α⋅R⟶expR.所以, 利用链式法则逐步计算: (xα)′=(eαlogx)′=eαlogx(αlogx)′=xαα(logx)′=αxα−1.
5)
(sinx)′=cosx, (cosx)′=−sinx.
根据之前的例子, 我们有三种方式来计算三角函数的导数:
∘
由于 sinx 是用级数来定义的, 仿照 ex 的导数计算的讨论, 我们希望能够逐项求导数, 这种做法现在并不严格;
∘
注意到 sinx 和 cosx 是通过复数值的函数来定义的 (cosx=21(eix+e−x)) , 所以我们必须离开实数转而研究在复数 (或者向量空间) 中取值的函数的导数. 然而, 在证明函数的四则运算和复合函数时, 我们并没有用到 R 的具体性质, 所有的证明对于复数域仍然成立 (我们将会在作业中见到类似的证明) , 所以这些技术都是成立的, 从而: (cosx)′=21(eix+e−ix)′=21(ieix−ie−ix)=−2i1(eix−e−ix)=−sinx.
∘
用定义直接计算. 我们仿照 ex 的情形 (利用三角函数的代数性质) 首先证明 sin′(0)=1 和 cos′(0)=0, 然后对 sin(x+h)−sinx 利用和差化积公式来证明一般 x 的情形. 我们会在作业中按照这种方式来完成证明.