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如何判断关系是否自反,反自反,对称,反对称,传递<关系矩阵关系图怎么做>

如何判断关系是否自反,反自反,对称,反对称,传递

首先,求出关系的关系矩阵,即布尔逻辑0、1矩阵。

例如,集合A={1,2,5,8,12,16} R是整除关系。

那么我们写成关系矩阵。

关系矩阵 M=

1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

R={,,,,,,,,,,,,,,} 这时,我们要判断是否为自反关系,只需检查关系矩阵

对角线上的元素是否全为1。

全为1则关系是自反关系;

不全为1(只要对角线上有1个0),则不是自反关系。

显然,整除关系是自反的。 要判断是否为反自反关系,同样只需检查关系矩阵上的元素是否全为0

值得注意的是,如果集合A非空,则空关系满足反自反,不满足自反关系。

但集合A为空集,则空关系满足自反关系,也满足反自反。

从中我们可以看出,关系有可能既是自反关系,又是反自反关系。

同样,关系有可能不是自反关系,也不是反自反关系。

这一点值得注意。 接下来,我们来看如何判断关系的对称性。

只需检查关系矩阵的主对角线两侧的元素,是否一一对应,保持一致即可。

显然,整除关系不是对称关系。 如何判断关系是反对称关系呢?

同样检查关系矩阵的主对角线两侧的元素,是否一一对应,保持互补(有1的地方,对角线另一侧的位置的元素为0)即可。

显然,整除关系是反对称关系。

注意,对称关系与反对称关系是互斥的,两者只能最多出现一种情况。现在进行修改两者并不是互斥的,可以看评论区

而不像自反与反自反可以同时满足。 下面来看如何通过关系矩阵,判断是否是传递关系。

传递关系,在关系矩阵不能一眼直接看出,但是同样可以按照步骤来检查。

方法是:

按从上到下,从左到右,逐一检查某行(例如a行)非对角线上的1元素,

定位到该1元素所在列,所对应的关系矩阵行,

检查该行所有的1元素(或只检查非对角线上的1元素),

将这些1元素所在列的a行元素找出,判断是否都为1

都为1则,是传递关系;

但只要出现1个0,则不是传递关系。

显然,整除关系满足传递性。

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