通过分布积分的方法，进行如下的推导：
Γ(x+1)=∫∞0txe−tdt=−∫∞0txd(e−t)=−[txe−t|∞0−x∫∞0tx−1e−tdt]=xΓ(x)可得该函数如下的递归性质：
Γ(x+1)=xΓ(x) >>> gamma(5+1)120.0>>> 5*gamma(5)120.0于是很容易证明（ Γ(1)=1,Γ(n)=(n−1)Γ(n−1) ）， Γ(x) 函数可以看成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下的性质：
Γ(n)=(n−1)! Γ(n) 与 B(m,n) 的关系 B(m,n)=∫10xm−1(1−x)n−1dxB(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n) 从二项分布到 Gamma 分布对Gamma 函数的定义稍作变形，可得如下等式：
∫∞0xα−1e−xΓ(α)dx=1 于是 取积分中的函数作为概率密度（Probability Density Function，PDF），就得到一个形式最为简单的Gamma 分布的密度函数（density function）： Gamma(x|α)=xα−1e−xΓ(α) 如果再做一个变换 x=βt ，就得Gamma 分布的更一般形式： Gamma(t|α,β)=βαtα−1e−βtΓ(α) 其中 α 称为形状参数（shape parameter），主要决定了分布曲线的形状，而 β 称为 rate parameter（或叫 inverse scale parameter， 1β 称为scale parameter），主要决定曲线有多陡。 Gamma 分布与Possion 分布Gamma 分布首先与Possion 分布（离散型）、Possion 过程发生密切的联系。我们容易发现Gamma分布的概率密度和Possion分布在数学形式具有高度的一致性。参数为 λ 的Possion分布，其概率（probability mass function，pmf）为：
Possion(X=k|λ)=λke−λk!而Gamma分布的密度（ α=k+1,β=1 ）得到：
Gamma(x|α=k+1)=xαe−xΓ(k+1)=xke−xk! 所以这两个分布在数学形式上是一致的，只是Possion分布是离散的，Gamma分布是连续的， 可以直观地认为Gamma分布是Possion分布在正实数集上的连续化版本。我们在概率论与数理统计的课程中都学过， Poisson(λ) 分布可以看成是二项分布 B(n,p) 在 np=λ,n→∞ 条件下的极限分布：
B(k;n,p)=(nk)pk(1−p)n−k⟶np=λ,n→∞Poisson(X=k|np)=λke−λk! 如果你对二项分布的关注足够多，可能会知道二项分布的随机变量 X B(n,p) 满足下面一个奇妙的 恒等式： P(X≤k)=n!k!(n−k−1)!∫1ptk(1−t)n−k−1dt 我们在等式右侧做一个变换 t=xn 可得： P(X≤k)=====n!k!(n−k−1)!∫nnp(xn)k(1−xn)n−k−1d(xn)∫nnp(n−1)!k!(n−k−1)!(xn)k(1−xn)n−k−1dx∫nnp(n−1k)(xn)k(1−xn)n−k−1dx∫nnpB(k;n−1,xn)dx∫nnpB(Y=k|n−1,xn)dx上式左侧是二项分布 B(n,p) 的累积分布函数（cumulative density function，cdf），而右侧为无穷多个二项分布 B(n−1,xn) 的积分和，所以可以写为：
B(X≤k|n,p)=∫nnpB(Y=k|n−1,xn)dx 对上式两边在条件 np=λ,n→∞ 下取极限，则得到： Poisson(X≤k|λ)=∫∞λPoisson(Y=k|x)dx=∫∞λxke−xk!dx到这，不妨先暂停，我们使用scipy做一个简单验证：
import scipy.stats as stfrom scipy.misc import factorialfrom scipy import integratelmbda, k = 2, 6X = st.poisson(2) # X ~ Poisson(2)print(X.cdf(k)) # P(X