定义：设 A f A A是 n n n阶矩阵，如果数 λ lambda λ和 n n n维非零列向量 x f x x使得关系式
A x = λ x (1a) {f{Ax = }}lambda {f{x}} ag{1a} Ax=λx(1a) 成立，那么，这样的数 λ lambda λ称为矩阵 A f A A的特征值，非零向量 x f x x称为矩阵 A f A A所对应于特征值 λ lambda λ的特征向量。
二、特征方程和特征多项式 2.1 特征方程式（1a）也可写作： ( A − λ E ) x = 0 (1b) f{(A-lambda E)x=0} ag{1b} (A−λE)x=0(1b) 这是 n n n个未知数 n n n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 ∣ A − λ E ∣ = 0 (2a) {f{|A-lambda E|}} =0 ag{2a} ∣A−λE∣=0(2a) 即 ∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ = 0 (2b) left| {egin{array}{ccccccccccccccc}{{a_{11}} - lambda }&{{a_{12}}}& cdots &{{a_{1n}}}\{{a_{21}}}&{{a_{22}} - lambda }& cdots &{{a_{2n}}}\ vdots & vdots &{}& vdots \{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& cdots &{{a_{nn}} - lambda }end{array}} ight| = 0 ag{2b} a11−λa21⋮an1a12a22−λ⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann−λ =0(2b)
式(2)是以 λ lambda λ为未知数的一元 n n n次方程，称为矩阵 A f A A的特征方程。
2.2 特征多项式特征方程的左端 ∣ A − λ E ∣ f{|A-lambda E|} ∣A−λE∣是 λ lambda λ的 n n n次多项式，记作 f ( λ ) f(lambda) f(λ),称为矩阵 A f{A} A的特征多项式。 即 f ( λ ) = ∣ A − λ E ∣ = ∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ f(lambda ) = |{f{A}} - {f{lambda E}}| = left| {egin{array}{ccccccccccccccc}{{a_{11}} - lambda }&{{a_{12}}}& cdots &{{a_{1n}}}\{{a_{21}}}&{{a_{22}} - lambda }& cdots &{{a_{2n}}}\ vdots & vdots &{}& vdots \{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& cdots &{{a_{nn}} - lambda }end{array}} ight| f(λ)=∣A−λE∣= a11−λa21⋮an1a12a22−λ⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann−λ
2.3 特征方程与特征多项式的关系若特征多项式为 f ( λ ) f(lambda ) f(λ)，则特征方程为： f ( λ ) = 0 f(lambda ) = 0 f(λ)=0
2.4 特征方程的解和解的个数根据矩阵的特征值的定义，易知，矩阵 A f A A的特征值就是矩阵 A f A A的特征方程 f ( λ ) = 0 f(lambda ) = 0 f(λ)=0的解。 特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数为特征方程的次数（重根按重数计算），因此， n n n阶矩阵 A f A A在复数范围内有 n n n个特征值，或者说矩阵 A f A A的特征方程有 n n n个解。
三、矩阵特征值的性质设 n n n阶矩阵 A = ( a i j ) {f{A}} = ({a_{ij}}) A=(aij)的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n {lambda _1},{lambda _2}, cdots ,{lambda _n} λ1,λ2,⋯,λn 则这些特征值有以下性质： 性质（1）：特征值之和等于其对角线元素之和。 λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n {lambda _1} + {lambda _2} + cdots + {lambda _n} = {a_{11}} + {a_{22}} + cdots + {a_{nn}} λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann
性质（2）：矩阵A特征值之积等于其行列式的值。 λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ {lambda _1}{lambda _2} cdots {lambda _n} = |{f{A}}| λ1λ2⋯λn=∣A∣