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基本不等式一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知m>0，n>0，且m＋n－2＝0，则mn的最大值是()A．1 B． C．2 D．32．(2023·唐山高一检测)已知正数a，b满足ab＝10，则a＋2b的最小值是()A．2 B．3 C．3 D．43．(2023·南通高一检测)函数y＝x＋(x>－2)取最小值时x的值为()A．6 B．2 C． D．4．(2023·扬州高一检测)当x>0时，函数y＝有()A．最小值1 B．最大值1C．最小值2 D．最大值2二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知x>1，且x－y＝1，则x＋的最小值是________．6．已知a>b>c，则与的大小关系是________．三、解答题7．(10分)(2023·合肥高一检测)(1)已知x(2)求y＝(x>1)的最小值．能力过关一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2023·盐城高一检测)已知a>0，b>0，且＋＝，则ab的最小值是()A．24 B．2 C．5 D．2．(多选题)(2023·怀化高一检测)当x>0时，下列函数最小值为2的是()A.y＝x(2－x) B．y＝C．y＝＋ D．y＝x2＋－1二、填空题(每小题5分，共10分)3．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．4．(2023·天津高一检测)若x5. 规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时的最小值为________．三、解答题6．(10分)若a>b，且ab＝2，求的最小值．一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知m>0，n>0，且m＋n－2＝0，则mn的最大值是()A．1 B． C．2 D．3分析选D.由题意得，mn≤＝＝3，当且仅当m＝n时取等号，所以mn的最大值是3.2．(2023·唐山高一检测)已知正数a，b满足ab＝10，则a＋2b的最小值是()A．2 B．3 C．3 D．4分析选D.因为正数a，b满足ab＝10，则a＋2b≥2＝2＝4，即a＋2b≥4，当且仅当a＝2b＝2时，取等号，故a＋2b的最小值为4，故选D.3．(2023·南通高一检测)函数y＝x＋(x>－2)取最小值时x的值为()A．6 B．2 C． D．分析选B.因为x>－2，所以x＋2>0，所以y＝x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝且x>－2，即x＝2时等号成立．4．(2023·扬州高一检测)当x>0时，函数y＝有()A．最小值1 B．最大值1C．最小值2 D．最大值2分析选B.因为x>0，所以y＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．即y＝有最大值1.二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知x>1，且x－y＝1，则x＋的最小值是________．分析由题得x＝y＋1>1，所以y>0.所以x＋＝y＋1＋＝y＋＋1≥2＋1＝3，(当且仅当y＝1时取等号)所以函数的最小值为3.答案：36．已知a>b>c，则与的大小关系是________．分析因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0.≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.答案：≤三、解答题7．(10分)(2023·合肥高一检测)(1)已知x(2)求y＝(x>1)的最小值．分析(1)因为x所以2x－5所以y＝2x－1＋＝2x－5＋＋4＝－＋4≤－2＋4＝2，当且仅当5－2x＝时，即x＝2时等号成立．所以y＝2x－1＋的最大值为2；(2)因为x>1，所以x－1>0，y＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时等号成立，所以y＝(x>1)的最小值2＋2.能力过关一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2023·盐城高一检测)已知a>0，b>0，且＋＝，则ab的最小值是()A．24 B．2 C．5 D．分析选B.因为a>0，b>0，所以＝＋≥，所以ab≥2，当且仅当＝时取等号，所以ab的最小值是2.2．(多选题)(2023·怀化高一检测)当x>0时，下列函数最小值为2的是()A.y＝x(2－x) B．y＝C．y＝＋ D．y＝x2＋－1分析选BD.对于A中，函数y＝x(2－x)＝－x2＋2x，此时函数在(0，＋∞)上无最小值，所以A不正确；对于B中，由x>0，可得y＝＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以B正确；对于C中，y＝＋＝t＋≥2，当且仅当t＝，t＝1时，等号成立，但是t＝≥，故C不正确；对于D中，函数y＝x2＋－1＝x2＋1＋－2≥2－2＝2，当且仅当x2＋1＝2，即x＝1时取等号，D正确．二、填空题(每小题5分，共10分)3．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．分析因为＝，因为x>0，y>0，x＋2y＝5，xy>0，所以≥＝4，当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1时成立，故所求的最小值为4.答案：44．(2023·天津高一检测)若x分析当x0，y＝3x＋＝5－≤5－2＝3，当且仅当5－3x＝时，即当x＝时，等号成立，因此，y的最大值为3.答案：35. 规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时的最小值为________．分析1⊙k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，所以＝1或＝－2(舍)，所以k＝1.＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时等号成立．答案：13三、解答题6．(10分)若a>b，且ab＝2，求的最小值．分析＝＝＝(a－b)＋＝2＝4，当且仅当a－b＝，即a＝＋1，b＝－1时，等号成立，所以的最小值为4.
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