现在有 10 {displaystyle 10} 个球，要放进 3 {displaystyle 3} 个盒子里，并允许空盒子。考虑 10 + 3 {displaystyle 10+3} 个球的情况：
●|●|●●●●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●●●●、●|●●●●|●●●●●●●●、●|●●●●●|●●●●●●●、......每个盒子的球都被拿走一个，得到一种情况，如此类推：
||●●●●●●●●●●、|●|●●●●●●●●●、|●●|●●●●●●●●、|●●●|●●●●●●●、|●●●●|●●●●●●、......n {displaystyle n} 个球放进 k {displaystyle k} 个盒子的方法总数（允许空盒子），等同于 n + k {displaystyle n+k} 个球放进 k {displaystyle k} 个盒子的方法总数（不允许空盒子），即 ( n + k − 1 k − 1 ) {displaystyle {inom {n+k-1}{k-1}}} [2]
问题等价于求 x 1 + x 2 + . . . + x k = n {displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n} 的可行解数，其中 x 1 , x 2 , . . . , x k {displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}} 为非负整数。
( n + k − 1 k − 1 ) {displaystyle {inom {n+k-1}{k-1}}} 也是 ( a 1 + a 2 + . . . + a k ) n {displaystyle (a_{1}+a_{2}+...+a_{k})^{n}} 展开式的项数 ∑ n 1 + n 2 + . . . + n k = n 1 {displaystyle sum _{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n}1} [3]