近年来, 深海开发已进入千米甚至万米水深的时代, 对海上平台等大型漂浮结构设计和防护提出了更高的安全性要求, 对水动力分析计算提出了新的问题。对于波浪与结构物相互作用的水动力分析问题, 常采用基于格林函数的边界元方法进行求解。其格林函数又可分为简单格林函数, 满足波动条件的频域格林函数和时域格林函数。基于满足自由水面条件和远场条件波动格林函数的边界元方法, 一般只需在物面上剖分网格、布置未知量, 所建立的积分方程尺度较小, 但格林函数的快速和精确计算是该方法的难题。Liapis等(1985), Newman(1985a, 1985b), Magee等(1989), Lin等(1991), 黄德波(1992), 韩凌(2005)采用分区计算和拟合方法进行计算; Clément(1989a, 1989b), Duan等(2001), Chuang等(2007), Das等(2010)等通过问题转化, 采用常微分方程方法计算格林函数; Linton (1999), Rahman (2001)等则推导了格林函数新的解析表达式以加快计算, Huang等(2023)采用机器学习方法近似计算水面格林函数。但无论采用哪种方法, 波动格林函数都存在表达式冗长、编程难度大、计算费时和精度有限的问题。另外, 基于波动格林函数的边界元方法虽只需在物面上建立方程, 但若将方程拆分为齐次部分和非齐次部分, 会发现齐次部分的积分方程形式与物体内部的齐次Dirichlet边值问题对应的积分方程完全一致。对于后者, 我们知道, 在通常频率下, 齐次边值只有零解, 但在特征频率下, 我们所求的边界问题中也存在着非零解, 因此, 对应的积分方程也将出现解的不唯一性现象, 而这些不唯一解对应的特征频率通常被称为“不规则频率”, 因而会给出错误的计算结果。
当采用简单格林函数时, 需将流域分解为内域和外域两个部分(贺五洲等, 1992), 在内域上采用简单格林函数建立积分方程, 外域采用速度势的特征展开式做级数展开, 最后通过内外域交界面上压强和速度连续条件联立求解。该方法中的格林函数计算简便, 但需同时在物面、水面和内外域交界面上剖分网格、布置未知量, 离散的线性方程组较大。对于一般的二维问题, 目前的计算机足以满足其对计算量和存储量的需求。另外, 该方法外部问题与内部问题不使用同一套积分方程, 因而不存在“不规则频率”问题, 在各种计算条件下, 该方法构造的积分方程均可得到唯一的正确解。因此, 采用简单格林函数法求解波浪与二维物体作用问题是一个不错的选择。
对于水深d中波浪与物体的相互作用问题, 外域速度势可采用特征函数展开方法进行构造, 特征值为色散关系ω2=−gktan(kd)的一个虚根和无穷多个实根, 其中ω为波浪频率, k为波数, g为重力加速度。当内、外域分界面远离物体时, 速度势的特征展开式只需取少量几项即可得到精确的结果。但随着水深的增加, 或波浪频率的增大, 非传播模态波数(实根)变得非常接近而成连续状态, 因而速度势特征展开式趋向于从零到无穷的连续函数, 这样需选取非常大的内部区域和较多的特征展开项数才能得到精确的结果, 使得计算效率和精度快速下降。而多极子展开方法采用球坐标系下的勒让德函数级数形式, 且只需取特征展开的少量项而具有收敛快速、计算精确的特点, 因此,