现实中的复杂系统一般都具有自相似特征，这种自相似性不仅仅体现为几何形体上的自相似，也体现为某种质量、测度在空间上的分配。例如，当我们考察人类城市中人口或者灯光在空间上的分布的时候，我们实际上在考查一个三维空间中的曲面。其中，曲面的横纵坐标分别是城市空间的经纬度，而高度坐标是对应经纬度点的人口或者灯光的密度值。然而，如果我们真的画出来这样的曲面，就会发现它并不光滑，而是非常地参差不齐，波动涨落非常剧烈的，因此传统的欧几里德几何工具以及微积分数学很难刻画。如果我们做这个曲面的等高线图，就会发现，每个等高线所包围的区域都是非常参差不齐的分形几何体。那么，我们该如何对这类不规则的空间分布进行刻画？多重分形（Multifractal）便是描述这类在不规则的分形空间之上质量分布的定量化工具。
目录1 一个例子1.1 康托尔尘1.2 康托尔尘上的质量分布1.3 多重分形谱1.4 多重分形谱的定义1.4.1 直观理解2 多重分形的数值计算2.1 Renyi信息维2.2 Legendre变换2.3 多重分形谱的计算3 多重分型谱应用举例3.1 康托尔尘多重分形谱的计算3.2 数字图像4 参考文献一个例子为了说清楚什么是多重分形，以及刻画多重分形的多重分形谱（Multifractal spectrum），我们先介绍一个简单的例子。这个例子通过往经典的康托尔集上赋予质量而形成一种非常不规则的一维地形。这种地形具有典型的多重分形特性。为了定量化这种特征，我们引入了多重分形谱这一数学工具。通过简单的计算以及数值试验，我们可以初步了解到多重分形的作用与功能，至于严格的定义与具体的计算方法则留给下一节详细说明。
康托尔尘康托尔尘（学名康托尔集Cantor Set）是由大数学家乔治·康托尔提出来的一种一维的分形集。它的构造非常简单。我们把[0,1]闭区间三等分，形成三个闭区间：[0,1/3], (1/3,2/3), [2/3,1]，把中间的区间去掉，剩下[0,1/3], [2/3,1]，然后再对这两个闭区间分别进行同样的操作，即三等分，然后把中间的去掉。这个操作可以一直重复下去，直到无穷。最终形成的那个无穷小测度的集合就是所谓的康托尔集。
下图形象地展示了这个不断重复地构建过程（6步）：
这里列出了构造康托尔尘的Mathematica代码
NestList[Flatten[Map[Function[x,temp = x[[2]] - x[[1]]; {{x[[1]],x[[1]] + temp/3}, {x[[2]] - temp/3, x[[2]]}}], #], 1] &, {0,1}, n]其中，n为迭代的步数。该程序能够返回每个步骤的小区间集合。
康托尔尘上的质量分布康托尔尘是一个经典的分形(Fractal)，它的分形维数为ln2/ln3。下面，我们来构造多重分形，即给每个小区间赋予质量。具体地，我们也可以按照如下的步骤递归地进行下列操作：首先，将[0,1]均分为三份，去掉中间的那个小区间，剩下两个小区间[0,1/3]和[2/3,1]。给左边的小区间分配质量1/3，右边的分配2/3。接下来再把[0,1/3]分为三份，去掉中间的小区间，剩下的两个小区间[0,1/9]和[2/9,1/3]，左边分1/3的质量，右边分2/3的质量，而[0,1/3]的小区间仅仅有1/3的质量，这样[0,1/9]这个小区间就分配到了1/3*1/3=1/9的质量，而[2/9,1/3]则分配到了2/3*1/3=2/9的质量……。这样，每对小区间划分一次，就把该小区间上的质量的1/3分到左边，把2/3分到右边。如此循环往复地进行下去。
我们用矩形的高度来表示小区间分配的质量，则上述分配过程可以形象地表达为下图：
多重分形谱从图上可以看出，随着层次的不断加深，区间变得越来越碎，而质量在这些小区间上的分布就会越来越参差不齐（奇异性Singularity），但是对于每一个给定的层，所有小区间上的质量之和都为1，这是因为在不断加深层次的时候，质量在小区间上的分配都满足守恒律。我们可以用一个被称作多重分形谱的曲线来刻画这种奇异性。
首先，我们知道，在第t步的时候，任意一个小区间i的质量可以写成：
[math]displaystyle{ m_i=p^x (1-p)^{t-x} }[/math]
其中p就表示在每一次划分的时候，分配到左边小区间的质量比率。例如，在上述例子中，每次1/3的质量划分给左侧区间的话，那么p=1/3。x表示的是该小区间i在t步生成过程中共有多少次被分配到了左侧，这样t-x对应的就是分配在右侧区间的次数。如下图所示，红色的线条就表示分到了左侧，绿色线条分配在右侧。
因此，在T=5这个层次的小区间中，质量为[math]displaystyle{ p^x (1-p)^{t-x} }[/math]的区间可能不止一个，只要从T=1到T=5的任意一条路径中包含x个向左的分支，t-x个右分支，最终的质量就都一样。事实上，我们可以计算出来具有质量[math]displaystyle{ m_i=p^x (1-p)^{t-x} }[/math]的小区间总共有[math]displaystyle{ C_t^{x} }[/math]个。这样，对于层次t来说，我们得到了两个量：一个是小区间的质量[math]displaystyle{ m_i=p^x (1-p)^{t-x} }[/math]，另一个是质量为m的小区间个数，我们记为：
[math]displaystyle{ N(m_i)=C_t^{x} }[/math]
通过将上述两个等式中的x消去，我们不难找到N和mi之间的函数关系，这个函数关系刻画了第t层小区间质量的分布情况。如下图所示，我们画出了不同t对应的N(mi)曲线（不同的曲线对应不同的t）：
我们看到，当t逐渐变大的时候，这条曲线会变得越来越尖，这表示有很多小区间具有相同的质量值，而大部分区间质量参差不齐。这种图像不方便我们比较，我们需要想办法把这个尖抹平。一种简单易行的方法就是取对数坐标。然而，对数坐标的底取多少合适呢？我们当然可以设这个底为一个常数e，但是，考虑到无论N还是mi以及小区间的大小都会随着t而呈现指数类型的增长或者衰减。因此，我们可以考虑对数底定为t层次每个小区间的长度大小，即3-t。这样一来，我们便可以得到很规整的图形：
在该图中，我们画出了不同t所对应的[math]displaystyle{ -log_{(3^{-t})}(N(m_i)) }[/math]对[math]displaystyle{ log_{(3^{-t})}(m_i) }[/math]的曲线（取负号是因为该数值可以被解释为分形维，详见下一节的讨论。）。我们能看到，随着t逐的增大，曲线不仅仅没有出现高高的尖峰，而且逐渐趋近于一条光滑的闭合曲线。这是因为，随着t的增长，我们的对数之底也会快速地衰减，从而使得这条曲线会逐渐稳定。那么，当t趋于无穷大的时候，这条曲线就构成了康托尔集合上质量分布的多重分形谱。
多重分形谱的定义实质上，上述作法不仅可以让质量在各个小区间上的分布图形更加好看，它还具有更深刻的含义。我们知道分形研究的是当我们的观察精度不断提高，被观察的几何形体是如何变化的。那么，当我们计算log(mi)随着log(3-t)而变化的时候，我们实质上是在计算质量如何随着观察分辨率的提高而衰减。更一般地，我们不妨把这个质量随观察精度而变化的速度定义为一个量：
[math]displaystyle{ alpha=frac{log(m_i)}{log(b(t))} }[/math]
假设我们把一个集合划分成不同精度t的盒子，那么每个盒子的大小就是b(t)。在康托尔集合的例子中，这个盒子就是一维线段上的小区间，直线段的长度就是盒子尺寸b(t)，也就是3-t。
这样，每个小盒子都能计算出一个α值，那么当我们给定了一个α以后，能够数出来一共有多少个小盒子与之对应。这个数等价于前面讨论的N，只不过，在这里我们计算的不是具有相同的质量mi的小盒子的个数，而是具有相同的α，即质量随精度变化速度相同的小盒子个数。当t给定的时候，这两种描述实际上是等价的。于是，我们定义多重分形谱为：
[math]displaystyle{ f(alpha)=-frac{log(N(alpha))}{log(b(t))} }[/math]
其中N(α)就表示质量变化速度位于区间[α,α+dα]之中的小区间个数。如果大家熟悉分形，以及计算分形维中的盒计数法的话，就会发现，实际上这个f(α)就是分形集合：“所有那些具有相同α的小盒子的集合”的分形维。
直观理解于是，我们的图景一下子就清楚了，实际上所谓的多重分形谱，就是描述一个崎岖地形的数学工具。其中，地形的高度就对应着质量的分布，质量越多的地方，高度越高。这种地形很怪异，因为它会随着观察尺度越来越精细而越来越坑洼不平。如果采用不同的盒子来划分水平面，从而把一个盒子中的山脉地形中的所有高度加总形成了粗粒化的新的高度，那么随着盒子越来越小，这种粗粒化的地形就会越来越颠簸。我们的描述手段就相当于：在一个观察精度下，用不同的水平面去截取这个地形，形成一些等高线，那么等高线所包围的区域就构成了一个分形，于是我们可以计算出它的分形维度。这样，该分形维如何随着α，即等高线高度对数与观测尺度对数的比值，而变化就够成了多重分形谱。
那么，这个多重分形谱的不同形状也就有了一定的解释。首先，如果这个地形是一个扁平的地形，也就是所有地点的高度都相同，那么多重分形谱就退化为一个点，这个点的横坐标是1，纵坐标是这个地形的支撑集合（即地形在XOY平面上的投影）的分形维。当地形稍微崎岖一点的时候，这个多重分形谱曲线就会具有一定的宽度。宽度越宽表示地形高度的取值越多样化。而多重分形谱曲线上的高度则对应了不同等高线所围分形集的维度，维度越大则表示分形集合的复杂程度越高，也就表示地形褶皱会比较多。
多重分形的数值计算在上面的讨论中，我们针对康托尔集上的质量分布为例，引入了多重分形的定义。根据这个定义，原则上讲，我们也可以计算出多重分形谱来。只要计算每个观测尺度下α的数值，以及对应的f(α)就足够了。但是，这种计算往往会带来很大的误差，这主要是因为在此计算中，我们实际上是用单个盒子的质量分布来推测不同质量分布随着尺度而变的斜率这一整体信息。
下面介绍的方法不是从局部出发，而是从整体出发，计算出在不同观测精度下的Renyi信息维χ。其中，我们引入了一个新的参数q。在不同的参数q下，我们能够得到Renyi维随着观测精度变化的速率χ(q)。计算χ(q)可以按照最小二乘法拟合出log(S(q))对log(b(t))的斜率。之后，根据这个速度χ(q)和多重分形谱f(α)构成了勒让德变换（Legendre变换）对这一性质，我们就能估算出多重分形谱f(α)了。
Renyi信息维我们首先要为多重分形定义一个新的量，叫做Renyi信息维度。对于一个多重分形场来说，当给定一个观测精度t，我们就得到了每一个小盒子b(t)中的质量分布mi，其中要求[math]displaystyle{ sum_{i=1}^{n(t)}m_i=1 }[/math]，那么，对于这些mi整体，我们可以计算如下的量:
[math]displaystyle{ chi_{t}(q)=frac{log(sum_{i=1}^{n(t)}m_i^q)}{log(b(t))} }[/math]
Renyi信息维就是这个量当t趋于无穷大时的极限，即定义为：
[math]displaystyle{ chi(q)=lim_{t ightarrow infty}chi_{t}(q)=lim_{t ightarrow infty}frac{log(sum_{i=1}^{n(t)}m_i^q)}{log(b(t))} }[/math]
其中q是一个参数，可以取遍所有实数。n(t)是在t精度下所有小盒子的个数。这个Renyi信息维与分形维的定义十分相似，它计算的是广义的信息量[math]displaystyle{ R(q)=frac{1}{1-q}sum_{i=1}^{n(t)}m_i^q }[/math]随着尺度增长的速度（参看Renyi信息熵）。当q=0的时候，求和式的结果就等于n(t)，于是这个维度χ(0)就退化成了多重分形的支撑集的分形维。当q=1的时候，这个量计算的是Shannon信息熵随尺度变化的速度。在实际的计算中，我们通过为待计算的集合划分不同精度的盒子，然后可以很容易地计算出[math]displaystyle{ sum_{i=1}^{n(t)}m_i^q }[/math]随log(b(t))的变化曲线，在对数坐标下，这条线变成了一条直线，于是我们可以计算出该直线的斜率，即为χ(q)。
我们说χ(q)反映的是多重分形场的整体信息，因为它对整个场的质量分布进行求和。 q的作用相当于一种权重，如果q>0，则那些质量大的小盒子就会对χ的贡献越大，从而χ就反映出来那些质量密集区域随着尺度变化信息量的增长速度。反过来若q