过点 (A) 作 (AH perp BC) 交 (BC) 于点 (H) ， 易得：
[AH=csin B=bsin C \ Downarrow \ dfrac{c}{sin C}=dfrac{b}{sin B}]同理可得：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}][dfrac{c}{sin C}=dfrac{a}{sin A}]综上：
[dfrac{c}{sin C}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{a}{sin A}]补充：
我们也可以借此得到 (S riangle ABC=dfrac{1}{2}absin C=dfrac{1}{2}acsin B=dfrac{1}{2}bcsin A)
第二种 勾股定理法过点 (A) 作 (AH perp BC) 交 (BC) 于点 (H) ，可得 (AH=bsin C,BH=ccos B)
由勾股定理可得：
[AB^2+AH^2+BH^2]即
[c^2=b^2sin^2C+c^2cos^2B\ Downarrow \c^2(1-cos^2B)=b^2sin^2C\ Downarrow \dfrac{c}{sin C}=dfrac{b}{sin B}]同理可得：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}][dfrac{c}{sin C}=dfrac{a}{sin A}]综上：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}]第三种 余弦定理证明正弦定理前言：暴力出奇迹 打表出省一
[cos A=dfrac{c^2+b^2-a^2}{2bc}Rightarrow cos^2A=dfrac{c^4+b^4+a^4+2c^2b^2-2a^2b^2-2a^2c^2}{4b^2c^2}]由 (cos^2A+sin^2A=1) 可得：
[sin^2A=dfrac{-c^4-b^4-a^4+2c^2b^2+2a^2b^2+2a^2c^2}{4b^2c^2}]同理可得 (sin^2B) 和 (sin^2C) 的值，笔者不在此赘述此证明过程。
所以：
[(dfrac{a}{sin A})^2=dfrac{4a^2b^2c^2}{-b^2-c^2-a^2+2a^2b^2+2a^2c^2b^2c^2}=(dfrac{b}{sin B})^2=(dfrac{c}{sin C})^2]所以：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}]综上：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}]第四种 建立平面直角坐标系不妨设 (A(0,0),C(x,y),B(c,0)) ，过点 (C) 作 (CH perp AB) 交 (AB) 于点 (H) ，易得：
[CH^2=y^2 \ AC^2=x^2+y^2 \ BC^2=(x-c)^2+y^2]所以：
[a=BC,sin A=dfrac{CH}{AC},b=AC,sin B=dfrac{CH}{CB}]可得：
[(dfrac{a}{sin A})^2=dfrac{[(x-c)^2+y^2](x^2+y^2)}{y^2}=(dfrac{b}{sin B})^2]所以：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}]同理可得：
[dfrac{c}{sin C}=dfrac{a}{sin A}][dfrac{c}{sin C}=dfrac{b}{sin B}]综上：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}]第五种 外接圆法一过点 (O) 作线段 (OH perp BC) 交 (BC) 于点 (H) ，易得： (BC=a,BD=dfrac{a}{2})
所以
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{a}{sin angle BOD} =dfrac{a}{frac{a}{2r}}=2r]同理可得：
[dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}=2r]综上：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}=2r]第六种 外接圆法二由题： (angle ACB=angle AEB) ，所以 (sin C=sinangle AEB=dfrac{AB}{EB}=dfrac{c}{2r})
所以
[dfrac{c}{sin C}=2r]同理可得：
[dfrac{b}{sin B}=dfrac{a}{sin A}=2r]综上：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}=2r]第七种 相似法这种正法好无聊，相当复杂，纯属拓宽思路
过点 (A) 作 (AH perp BC) 交 (BC) 于点 (H).
作 ( riangle ACD sim riangle AHB， riangle AHC sim riangle ABE) ，可得： (angle HAC=angle EAB,angle HEB =angle CAD) .
所以：
[dfrac{AE}{AC}=dfrac{AB}{AH},dfrac{AD}{AB}=dfrac{AC}{AH}Rightarrow dfrac{AD}{AC}=dfrac{AE}{AC}]所以 (AD=AE)
又因为：
[dfrac{b}{sin B}=dfrac{AC}{sin angle ADC}=AD,dfrac{c}{sin C}=dfrac{AB}{sin angle AEB}=AE]所以：
[dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}]同理可得：
[dfrac{c}{sin C}=dfrac{a}{sin A}][dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}]综上：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}]第八种 向量法这个比我发明的第七种证法还无聊，但这是教科书上的
过点 (A) 作与 (overrightarrow{AC}) 垂直的单位向量 (oldsymbol{j}) ，则 (oldsymbol{j}) 与 (overrightarrow{AB}) 的夹角为 (dfrac{pi}{2}-A) ， (oldsymbol{j}) 与 (overrightarrow{CB}) 的夹角为 (dfrac{pi}{2}-C.)因为 (overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB}) ，所以：
[oldsymbol{j}cdot(overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB})=oldsymbol{j}cdotoverrightarrow{AB}]由分配律得：
[oldsymbol{j}cdotoverrightarrow{AC}+oldsymbol{j}cdotoverrightarrow{CB}=oldsymbol{j}cdotoverrightarrow{AB}]即
[|oldsymbol{j}| |overrightarrow{AC}|cosdfrac{pi}{2}+|oldsymbol{j}| |overrightarrow{CB}|cos(dfrac{pi}{2}-C)=|oldsymbol{j}| |overrightarrow{AB}| cos(dfrac{pi}{2}-A)]也即
[asin C=csin A Rightarrow dfrac{a}{sin A}=dfrac{c}{sin C}]同理可得：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}][dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}]综上：
[dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}]