在实用上和理论上,下述情况常见: 问题中有许多比较简单的 事件, 其概率易于算出或是有了理论上的假定值,或是根据以往的 经验已对其值作了充分精确的估计. 而我们感兴趣的是一个复杂 的事件 (E), 它通过种种关系与上述简单事件联系起来.这时我们 想设法利用这种联系，以便利用这些简单事件的概率去算出 (E) 的 概率. 正如在微积分中, 直接利用定义可算出若干简单函数的导 数,但利用导数所满足的法则, 可据此算出很复杂的函数的导数.
例如,向一架飞机射击，事件 (E) 是“击落这架飞机”. 设这架飞 机有一名驾驶员, 两个发动机 (G_{1}) 和 (G_{2}). 又假定当击中驾驶员, 或 同时击中两个发动机时, 飞机才被击落,记事件
[E_{0}= ext { 击中驾驶员, } E_{i}= ext { 击中 } G_{i}, i=1,2]则 (E) 与 (E_{0}, E_{1}, E_{2}) 有关, 确切地说, (E) 即由 (E_{0}, E_{1}, E_{2}) 决定. 其关 系可通过文字表达如下:
[E=left{E_{0} ext { 发生或者 } E_{1}, E_{2} ext { 都发生 } ight}]这种表述很累赘,我们希望通过一些符号来表达,这就是本节要讨 论的事件的关系和运算. 对事件进行运算, 如同对数字作运算一 样: 对数字进行运算得出新的数, 而对事件作运算则得出新的事 件。
0.1. 1 事件的蕴含、包含及相等⚓︎在同一试验下的两事件 (A) 和 (B),如果当 (A) 发生时 (B) 必发生, 则称 (A) 蕴含 (B), 或者说 (B) 包含 (A), 记为 (A subset B). 若 (A, B) 互相蕴含, 即 (A subset B) 且 (B subset A), 则称 (A, B) 两事件相等,记为 (A=B).
例如,搓两粒骰子。记
[egin{aligned}& A={ ext { 郑出的点数之和大于 } 10} \& B={ ext { 至少有一粒骰子掷出 } 6}end{aligned}]若事件 (A) 发生,易见 (B) 非发生不可, 故 (A) 蕴含 (B). 一个形象的看 法如图 1.3. 向一个方形靶面射击, 以 (A, B) 分别记“命中图中所标出的闭曲线 内部”的事件,则命中 (A) 自意味着命中 (B). 这个图形也说明了“ (B) 包含 (A) ”这个 说法的来由. 因从图中明白看出, (B) 这 一块包含了 (A) 这一块.
拿“事件是试验的一些结果” (见 1.1.2 段) 这个观点去看, 如果 (A) 蕴含 (B), 那只能是: (A) 中的试验结果必在 (B) 中,即 (B) 这个集合 (作为试验结果的集
图 1.3 合)要大一些, “包含”一词即由此而来. 实际含义是: 若 (A subset B) (也 写为 (B supset A) ), 则 (A) 和 (B) 相比, 更难发生一些, 因而其概率就必然 小于或至多等于 (B) 的概率. “两事件 (A, B) 相等” 无非是说, (A, B) 由完全同一的一些试验结果构成, 它不过是同一件事表面上看来 不同的两个说法而已.
例如,掷两个骰子,以 (A) 记事件 “两骰子郑出点数奇偶不同”, (B) 记事件 “拼出点数之和为奇数”. 这两个事件, 说法不同, 其实则 一. 对复杂情况则不必如此一目了然. 证明两事件 (A, B) 相等的一 般方法是: 先设事件 (A) 发生, 由此推出 (B) 发生, 再反过来, 由假定 (B) 发生推出 (A) 发生. 这将在后面举例说明.
1. 3 .2 事件的互斥和对立⚓︎若两事件 (A, B) 不能在同一次试验中都发生(但可以都不发 生), 则称它们是互斥的. 如果一些事件中任意两个都互斥, 则称这 些事件是两两互斥的,或简称互斥的.
例如，考虑投掷一个骰子这个试验. 记 (E_{i}) 为事件 “郑出的点数 为 (i) 的倍数”, (i=2,3,4), 则 (E_{3}) 与 (E_{4}) 为互斥. 因若 (E_{4}) 发生, 则只 有郑出 4 点, 而它非 3 的倍数, 即 (E_{3}) 必不发生. 但是, (E_{2}) 和 (E_{3}) 并 非互斥. 因若抙出 6 点, 则二者同时发生. 简言之, 互斥事件即不两 立之事件.从“事件是由一些试验结果所构成的”这个观点看, 互斥 事件无非是说:构成这两个事件各自的试验结果中不能有公共的.
互斥事件的一个重要情况是“对立事件”, 若 (A) 为一事件, 则 事件
[B={A ext { 不发生 }}]称为 (A) 的对立事件,多记为 (ar{A}) (读作 (A b a r), 也记为 (A^{c}) ).
例娊，投拼一个骰子, 事件 (A={) 掷出奇数点 (}={1,3,5}) 的对 立事件是 (B={) 掷出偶数点 (}={2,4,6}). 对立事件也常称为“补事 件”. 拿上例来说,事件 (A) 包含了三个试验结果: 1,3 和 5 , 而对立 事件 (B) 中所含的三个试验结果 2,4 和 6 , 正好补足了前面三个, 以 得到全部试验结果.
2. 3 .3 事件的和(或称并)⚓︎设有两事件 (A, B), 定义一个新事件 (C) 如下:
[C={A ext { 发生,或 } B ext { 发生 }}={A, B ext { 至少发生一个 }}]所谓定义一个事件, 就是指出它何时发生, 何时不发生. 现在这个 事件 (C) 在何时发生呢? 只要 (A) 发生, 或者 (B) 发生(或二者同时发 生也可以), 就算是 (C) 发生了, 不然 (即 (A, B) 都不发生) 则算作 (C) 不发生, 这样定义的事件 (C) 称为事件 (A) 与事件 (B) 的和,记为
[C=A+B]例如，郑一个骰子, 以 (A) 记事件 ({) 郑出偶数点 (}={2,4,6}, B) 记事件 ({) 瓶出 3 的倍数 (}={3,6}), 则 (C) (=A+B={2,3,4,6}), 即当郑出的点为 (2,3,4) 或 6 时,事件 (C) 发生,而郑出 1,5 时则不发生. 我们注意到, 两事件的和, 即把构成各事件的那些试验结果并“在 一起所构成的事件. 如把图 1.4 的正方 形视为一个平面靶, (A, B) 两事件分别表 示命中图中所指闭曲线内部, 则 (C=) (A+B) 表示“命中由 (A, B) 两闭曲线的外
图 1.4 缘所围成的区域”。这区域比 (A, B) 都 大, 它由 (A, B) 两部分合并而成. 当然, 作为集合, 重复的部分 (图 中斜线标出的部分) 只须计入一次.
这样, 若 (C=A+B), 则 (A, B) 都蕴含 (C, C) 包含 (A) 也包含 (B). 经过相加, 事件变“大”了(含有