无用之用
之前我在读哲学书的时候，很多人会说：“你一个学习数学的人，看哲学书有什么用，无用之书”。其实，当时我也默认这种说法，的确在当时看来是没用的，虚得很。
不过，自从踏入社会，参加了工作，中间发生了一些生活，工作上的一些事情，我会发现，越来我之前读的“尼采，康德，黑格尔，帕斯卡尔，培根，蒙田，易经等”。在我人生大起大落的时候，是起了无形的骨子里的支撑。我明白人生大道，而非世俗之事；我明白做人做事心态最重要；我明白好坏相随，静心做事；我明白了，原来无用也是需要从不同的角度，不同的时空，不同的境遇理解的，所以，无用之用。
言归正传，数学中很多问题也是一样，比如：0为什么不能作除数？1为什么既不是质数又不是合数？平行四边形是梯形吗？0为什么是自然数？0是偶数吗？3×7为什么写乘7×3？什么是方程？自然数，分数，小数是怎样产生的？为什么学习分数？等等。这些问题，我们一般都会忽略的，因为这些问题好像也是没必要解释吧。有什么解释的呢？记住就行了，就当是一种约定，又不影响做题，不影响得分，没必要知道为什么吗？有为什么吗？需要问老师为什么吗？事实证明，学生大部分觉得不需要问老师，其实也不能质问学生，因为大孩子到了4年级之后，基本上问的问题就是：“这道题怎么做？这个答案对吗？这个答案是什么？这个题考不考？这个有没有公式，尤其是秒杀的方法让我套用一下？”哎呀，在干啥？有没有搞错？好吧，不怪你们，其实很多时候我们在应该培养学生的兴趣，聆听，提问，表达，批判精神的时候，我们作为老师，家长往往没时间，没耐心去聆听孩子心中的疑惑，等孩子长大了，就太难了。
所以，经常有5,6年级家长经常问我：“胡老师，怎样让我家孩子爱思考，会思考，喜欢数学，遇到问题有办法，不要丢三落四，老师出错。”听完之后，其实我心中在想：怎么可能？我们只能说尽力而为的去培养孩子的数学兴趣（尽力不讨厌数学），数学思考（启发孩子），数学问题的解决（胡说数学三板斧），数学问题的理解（数学概念与思想），尽可能在最后两年给孩子除了补知识，补能力，补方法，尽我可能不让孩子初中吃亏。因为，孩子最黄金的年龄（3--8岁），是培养一切根据最好的时间，我们错过了，家长后悔了，想补回来，不是不可能，只是有困难。
所以，就好比坐月子一样，第二次生命一定是科学的，慢慢的，循序渐进的，耐得住的，不要太急功近利的；所以，回到正题，所谓数学中的无用之用，不是真正的无用，而是这些深层次的概念隐藏太深，以至于我们根本深究不出来太多，或者真的是大家默认的东西，不需要去证明，但是恰恰是这样的数学概念，如果有精力，时间去深究一下，你会发现别有洞天，知识大厦下面有“宝藏”等着你挖掘。往往这些深层次的概念都是和数学历史文化密切联系的。
所以，孩子们，你们错过了第一次机会，现在胡老师在5,6年级最后这一两年的时间给你第二次机会，以后凡是对某个问题不明白的来问我，尤其是这种感觉没必要问的数学概念。老师尽自己最大努力为你解疑答惑。好了，我们今天所说的问题是：“为什么除以一个不为0的数等于乘它的倒数？”大家思考一下，貌似真的没必要知道为什么？因为，我们学了分数的乘法之后，学分数除法，貌似自然而然转化为分数除法就是除以一个不为0的数等于乘它的倒数。可是，小明同学疑问满满，来问老师，请往下看……
小明的疑惑
问题：为什么除以一个不为0的数等于乘它的倒数？
小明问老师：“为什么除以一个不为0的数等于乘它的倒数？”
老师说：“这是规定，你记住它，会计算就行了。”
小明一脸懵，一肚子疑惑。
因为小明心里这样想的：分数的乘法是分子乘分子作分子，分母乘分母做分母，而且之前他画图证明过（如下）；
小明心中有疑惑，就找到了“胡说数学不胡说”老师，疑惑的问：“胡老师，分数乘法是分子乘分子作分子，分母乘分母作分母，那分数除法应该也是类似的吧！”
我试过了，第一个是分子除以分子作分子，分母除以分母作分母；结果我用第二个方法（除以一个不为0的数等于乘它的倒数）证明，结果是对的，那既然结果是对的，说明我的思考没问题，用和分数除法一样的方法计算也挺好，延续乘法的风格，但是怎么解决这个现象呢？
现象背后的统一
那小明同学，我们先来回顾分数的四则运算的历程，进而再来解决这个问题吧！
问题：分数四则运算中，为什么加减要通分？乘除不通分呢？
为什么乘法是分子乘分子作分子，分母乘分母做分母，而除法不是呢？
在分数加减中，先把计数单位化为相同，计算时先通分，这样分母不变，分子相加减即可。
而表面上看，对于分数乘法来说，却不要通分。两个分数相乘，分子相乘作分子，分母相乘作分母；两个分数相除，一个分数乘另一个分数的倒数。其实在不同的算法表征背后，也有着相同的“算理”。所有的分数的四则运算都可以看成是分数单位化相同以后的整数运算。
比如分数加减法：3/4+1/2，异分母，先转化为同分母才能计算：3/4+1/2转化为3/4+1/2=3/4+2/4=（3+2）×1/4，也就是说是3个1/4与2个1/4的和，也就是说分母不变，分子相加即可，分数加减，先转化为分母相同，进而是若干个分数单位的累加。
再比如分数乘法：3/5×3/4，首先我们肯定知道：1/5×1/4两个分数单位相乘实际上就是统一分数单位。也就是把整体1先分成5份，接着每一份再分成4份，总共20份，每份为1/20；统一分数单位后，只需要两个分子相乘就可以了，也就是3×3=9个1/20；3/5×3/4=（1/5×1/4）×（3×3）=9/20。分数乘法就是统一单位后分子的整数运算，基本算理的一致的，与小数乘法的算理也是殊途同归。
但是分数除法怎么理解呢？孩子们，大家是不是觉得有难度啊？我们慢慢来说。分数除法，也可以理解为先统一单位后，分子相除的整数运算；比如：5/6÷2/3，可以转化为同分母，5/6÷2/3=15/18÷12/18=15÷12=1.25.但是关于分数除法，理解途径比较多，所以我们继续走着。
颠倒相乘的依据
1、分数除以整数：一根绳子的，平均分成两段，每段是这个绳子的几分之几？
我们从平均分的角度可以理解看到：4/5÷2=4/5×1/2.2、整数除以分数：比如4÷1/2，我们不能说成把4个苹果分给1/2个人，但是我们可以说成4里面包含几个1/2.
所以，4÷1/2=4×2=8。
再比如：4÷2/3也可以理解为4个东西，每2/3个一份，4相当于12/3，也就是6份，所以4÷2/3=4×3/2=6.
3、分数除以分数：分数除以自然数，很容易看出颠倒相乘。我们不妨可以：5/6÷1/3为例，也是理解为5/6包含了几个1/3.
也就是：5/6÷1/3=？不妨画图理解：
通过一个举例子证明：除以一个数（不为0）等于乘它的倒数。是有局限的，不严谨，而且我们所举例子相对特殊，不够一般化，所以特殊的例子只能视为猜想，但也算是一个研究方向的指引。
颠倒相乘的7种证明
不妨我们多举几个例子或者用代数或者字母的方式证明：分数除法的算理，可以理解的途径很多，大致我们可以有7种方式理解：好的，我们现在其实可以解决小明的疑惑了，我们给出一些理解方式，仅供孩子们参考。
一、从分数的意义来理解：比如：4/5÷5怎么理解？这个难不住大家，就是把一个东西的4/5平均分成5份；好的，接着来4/5×2/3怎么理解呢？可以理解为把一个东西的4/5平均分成3份取2份，也就是4/5÷3×2；再接着理解，4/5÷3/2怎么理解？4/5÷3/2=4/5÷（3÷2）=4/5÷3×2，看到了什么？和4/5×2/3结论一样了，但是：
小明的问题中说，为什么不用：分母相除作分母，分子相除作分子；而是用除以一个不为0的数等于乘它的倒数呢？大家如果觉得刚才的推理不太好理解的话，我们不妨总结提炼一下：分数的意义为把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。例如：1/5÷3，就是把1/5平均分成3份，求每份是多少，也就是求1/5的1/3是多少。算式是1/5×1/3，所以1/5÷3=1/5×1/3。在一个分数里，分子缩小到原来的几分之一和分母扩大到原来的几倍，其作用是一样的。反过来，分母缩小到原来的几分之一和分子扩大到原来的几倍，作用也是一样的。例如：
因此，在分数的除法里，分子部分除以一个数（0除外），可以变为分母部分乘以一个数；分母部分除以一个数（0除外），可以变为分子部分乘以这个数。例如：
其实不难解释，我说了很多次，我们的运算法则，都是在大量时间基础上归纳整理出来的，人为选择的结果。分数除法的颠倒相乘法，也是数学的一种选择。其实计算分数除法的方法不是唯一的，在中国古代或者古埃及，巴比伦都出现过别的方法，但是随着历史的发展，最终“颠倒相乘法”成了人们的选择，最终成为“赢家”，注意原因是“简捷易行，它具有概括性与通用性。”
二是，根据分数就是除法的概念：分数变为除法：解决了小明的问题，我们接着探究其他证明：除以一个不为0的数，等于乘它的倒数。根据分数就是除法，可以把分数转化为除法，然后根据内在关系证明。
三是，根据商不变的规律：被除数，除数同乘除数的倒数。从4.5÷0.25的启发理解：4.5÷0.25简便运算，根据商不变性质，可以理解为：4.5÷0.25=（4.5×4）÷（0.25×4）=（4.5×4）÷1=4.5×4，得益于这个启发，我们的分数也可以利用商不变方式去证明分数除法。
四是，根据分数的基本性质：分子分母同乘分母之积，然后约分计算：
五是，把分数单位进行统一，分母相同，只需要把分子相除，把其转化为分子的除法：
六，转化为比例：当然这是学过比例之后的事情了：
七、分数除法的形式化意义：分数是代数概念
好了，同学们，今天关于除法的问题，我们先讲到这，本来我不想说那么多，但是其实教材中给我们呈现的大部分都是静态的，结论性的东西，因为教材不是动画，所以对于我们教材中概念的理解，我们要把它动起来。因为颠倒相乘的方法的解释过于抽象，所以很多老师不愿意教，学生学不懂，但是从抽象的过程中我们尽力而为，最终也是能收获很多对数学的认知。
正如弗赖登塔尔说：“理解算法的最好途径是发现，没有什么比依靠自己的发现令人信服。”在证明的过程，我们用到很多数学思想方法，比如转化思想（乘除法转化，分数与商的转化，分数与小数的转化）；数形结合思想（画图证明），数缺形时少直观，形缺数时难入微。类比思想（从整数除法类比到整数除以分数，分数除以分数，帮助学生建立结构化体现），归纳思想（归纳推理属于合情推理，从特殊到一般的方式，得出结论），符号化思想（用符号化语言描述内容。）