如果现在有两个合式公式 （这是较大的层面，两个合式公式之间的关系）
A : ( a 1 ∨ a 2 ) ∧ ( a 3 ∨ a 4 ) . . . ( a n ∨ a n + 1 ) A:(a_1vee a_2) wedge(a_3 vee a_4) ...(a_nvee a_{n+1}) A:(a1∨a2)∧(a3∨a4)...(an∨an+1) B : ( b 1 ∨ b 2 ) ∧ ( b 3 ∨ b 4 ) . . . ( b n ∨ b n + 1 ) B:(b_1vee b_2) wedge(b_3 vee b_4) ...(b_nvee b_{n+1}) B:(b1∨b2)∧(b3∨b4)...(bn∨bn+1)如果能证明 A → B A ightarrow B A→B 是个永真式，那么我们可以说 A ⇒ B A Rightarrow B A⇒B （A 蕴含 B），或者表示为 A ⊨ B A models B A⊨B，这个式子 A ⊨ B A models B A⊨B 成为蕴含式，也叫做 永真的条件式； 此时， A A A 称为蕴含式的前提（前件）， B B B 称为蕴含式的结论（后件） 蕴含式和等价式的关系（ ≡ equiv ≡ 或 ⇔ Leftrightarrow ⇔）A ≡ B Aequiv B A≡B 相当于 A ⊨ B A models B A⊨B 且 B ⊨ A B models A B⊨A
注意，这里用的是 “且”，而不是 ∧ wedge ∧ 因为这是公式之间的关系，而不是子句之间的关系，不能用逻辑联结词。等价式和蕴含式，都不是公式，因为他们表示的是不同公式之间的关系！！！！ 证明蕴含式的方法 要证明 A ⊨ B A⊨B A⊨B 就证明 A → B A ightarrow B A→B 是重言式（tautology）；可以通过真值表逻辑推演：证明蕴含关系要用逻辑推演。 逻辑推演的方法 前件真推后件真后件假推前件假 Example 逻辑推演使用的 9 个基本蕴含式 证明蕴含关系的基本方法：真值表法 、逻辑推演法。逻辑推演法在上面我们也做了简单的展示；除了直接分析公式的真假之外，我们引入了 9 个基本的蕴含式；可以帮助进行逻辑推演**（就像在命题逻辑的等值演算一样，可以通过公式的替换来简化证明过程）** 基本蕴含式公式解释附加律 A ⊨ ( A ∨ B ) A models (A vee B) A⊨(A∨B) A A A 是真， A ∨ B A vee B A∨B 一定为真，满足前真推后真化简律 ( A ∧ B ) ⊨ A (Awedge B) models A (A∧B)⊨A A A A 是假， A ∧ B A wedge B A∧B 一定为假，满足后假推前假假言推理 ( A → B ) ∧ A ⊨ B (A ightarrow B) wedge A models B (A→B)∧A⊨B ( A → B ) (A ightarrow B) (A→B) 是真的， A A A 也是真的，所以 B B B 必须是真的拒取式 ( A → B ) ∧ ¬ B ⊨ ¬ A (A ightarrow B) wedge ¬ B models ¬ A (A→B)∧¬B⊨¬A ( A → B ) (A ightarrow B) (A→B) 是真的， ¬ B ¬ B ¬B 也是真的， B B B 是假的，因此 A A A 一定也是假的析取三段论 ( A ∨ B ) ∧ ¬ B ⊨ A (A vee B) wedge ¬ B models A (A∨B)∧¬B⊨A B B B 是假的， ( A ∨ B ) (A vee B) (A∨B) 是真的，所以 A A A 一定是真的假言三段论 ( A → B ) ∧ ( B → C ) ⊨ ( A → C ) (A ightarrow B) wedge( B ightarrow C)models (A ightarrow C) (A→B)∧(B→C)⊨(A→C)单条件蕴含的传递性等价三断论 ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ⊨ ( A ↔ C ) (A leftrightarrow B) wedge (B leftrightarrow C) models (Aleftrightarrow C) (A↔B)∧(B↔C)⊨(A↔C)双条件蕴含的传递性构造性二难推理 ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ⊨ ( B ∨ D ) (A ightarrow B) wedge ( C ightarrow D) wedge (A vee C) models (Bvee D) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⊨(B∨D) A , C A,C A,C 中至少有一个是真的，而且 ( A → B ) , ( C → D ) (A→B), (C→D) (A→B),(C→D) 都是真的，因此 B , D B, D B,D 有一个是真的， A A A 如果是真的，那么 C C C 就是真的，如果 B B B 是真的，那么 D D D 就是真的； A , C A,C A,C 都真，则 B , D B,D B,D 都真破坏性二难推理 ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( ¬ B ∨ ¬ D ) ⊨ ( ¬ A ∨ ¬ C ) (A ightarrow B) wedge ( C ightarrow D) wedge (¬B vee ¬D) models (¬A vee ¬C) (A→B)∧(C→D)∧(¬B∨¬D)⊨(¬A∨¬C) B , D B, D B,D 至少有一个是假的，因此， A , C A,C A,C 中至少有一个是假的（结合 ( A → B ) , ( C → D ) (A→B), (C→D) (A→B),(C→D) 的真值表） 推理的有效性证明 有效论证假设 A 1 , A 2 , . . . A n A_1,A_2,...A_n A1,A2,...An 都是命题公式， B B B 也是命题公式，
如果对于 A 1 ∧ A 2 ∧ . . . A n ⊨ B A_1wedge A_2 wedge ...A_n models B A1∧A2∧...An⊨B， A 1 ∧ A 2 ∧ . . . A n A_1wedge A_2 wedge ...A_n A1∧A2∧...An 为假，那么 A 1 ∧ A 2 ∧ . . . A n ⊨ B A_1wedge A_2 wedge ...A_n models B A1∧A2∧...An⊨B 这个推理是有效的；或者 A 1 ∧ A 2 ∧ . . . A n A_1wedge A_2 wedge ...A_n A1∧A2∧...An 为真时， B B B 也为真，那么称这个推理是有效的。总结就是：前件假的时候，无论如何推理都是有效的，前件真的时候，后件也要为真，推理才有效。如果证明 A 1 ∧ A 2 ∧ . . . A n ⊨ B A_1wedge A_2 wedge ...A_n models B A1∧A2∧...An⊨B 是有效的，那么我们称 B B B 是 有效的结论 无效论证 若前提都是真命题，而结论是假命题（前真推后假，那么是无效论证）。即 A 1 ∧ A 2 ∧ . . . A n ⊨ B A_1wedge A_2 wedge ...A_n models B A1∧A2∧...An⊨B 中 A 1 ∧ A 2 ∧ . . . A n A_1wedge A_2 wedge ...A_n A1∧A2∧...An 为真，但是 B B B 是假。一定要注意论证（推理） 的有效性 （Valid） 和 真（True） 的区别
Example
有效论证不一定 产生真实的结论，比如如果 前件假（false） 的，那么这个推论（论证）一定是有效的（valid）；但是可能是 前 假 ⊨ 后 假 前假 models 后假 前假⊨后假，得到的结论还是个假的，但推理确实有效的。有效论证中可能包含假的前提，而无效的论证中却可能包含真的前提；例如 前 真 ⊨ 后 假 前真 models 后假 前真⊨后假 这个推理就是无效的，但是前提是真的。如果前提全是真的，那么有效结论也一定是真的。因为这就是 前 真 ⊨ 后 真 前真 models 后真 前真⊨后真 才能使得推理是有效的，因为 前 真 ⊨ 后 假 前真 models 后假 前真⊨后假 这个推理是无效的。 有效论证的 4 种判断方法判断的方法分为两大类：
采用不同方法来证明 推理对应的单条件蕴含式是个永真（重言式）式： 真值表法等值演算法主析取范式法 采用逻辑推演法证明：（ 前 真 ⊨ 后 真 前真models 后真 前真⊨后真 或者 前 假 ⊨ 后 真 前假models 后真 前假⊨后真 或者 前 假 ⊨ 后 假 前假models 后假 前假⊨后假 或者 后 假 ⊨ 前 假 后假 models 前假 后假⊨前假） 例题：判断下列推理是否正确：
若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除。 a 能被 4 整除，所以 a 能被 2 整除
构造推理公式： p p p： a 能被 4 整除； q q q：a 能被 2 整除； p → q p ightarrow q p→q：若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除 ( p → q ) ∧ p ⊨ q (p ightarrow q) wedge p models q (p→q)∧p⊨q：若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除。 a 能被 4 整除，所以 a 能被 2 整除 逻辑推演法： 采用 前真 ⊨ models ⊨ 后真 的思路 p ≡ T pequiv T p≡T, p → q ≡ T p ightarrow q equiv T p→q≡T 所以 q ≡ T q equiv T q≡T 所以推理是正确的。（就是假言推理形式）下午马芳去游泳或去看电影，他没去看电影。所以他去游泳了
构造推理公式： p p p： 下午马芳去看电影； q q q：下午马芳去游泳； p ⊕ q poplus q p⊕q：下午马芳去游泳或去看电影 ≡ ( ¬ p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ¬ q ) equiv(¬ p wedge q)vee(pwedge ¬ q) ≡(¬p∧q)∨(p∧¬q) ¬ p ¬ p ¬p：马芳下午没去看电影 ( ¬ p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ¬ q ) ∧ ¬ p ⊨ q (¬ p wedge q)vee(pwedge ¬ q) wedge ¬ p models q (¬p∧q)∨(p∧¬q)∧¬p⊨q ：下午马芳去游泳或去看电影，他没去看电影。所以他去游泳了 逻辑推演法： 采用 前真 ⊨ models ⊨ 后真 的思路 ( ¬ p ≡ T ) ≡ ( p ≡ F ) (¬ pequiv T) equiv (p equiv F) (¬p≡T)≡(p≡F), p ∧ ¬ q ≡ F pwedge ¬ q equiv F p∧¬q≡F 所以 ( ¬ p ∧ q ) ≡ T (¬ p wedge q) equiv T (¬p∧q)≡T 所以 q ≡ T q equiv T q≡T 所以符合前真推后真。