quad 此前，我们已经可以用收敛数列（或收敛的数项级数）来表示或定义一个数，接下来讨论：
如何由一个收敛的函数序列（或收敛的函数项级数）来表示或定义一个函数
【示例】：
（1）证明： lim n → ∞ ( 1 + x n ) n = e x underset{n ightarrow infty}{lim}(1+frac{x}{n})^n=e^x n→∞lim(1+nx)n=ex；
（2）证明： ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x n n = ln ( 1 + x ) sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n}frac{x^n}{n}=ln (1+x) ∑n=1∞(−1)nnxn=ln(1+x).
对以上两个问题，先前的做法通常是将每一项中的变量视为常数，之后。我们就研究其函数性质。
函数序列定义 1（函数序列）：设 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ , f n ( x ) , ⋯ f_1(x),f_2(x),cdots,f_n(x),cdots f1(x),f2(x),⋯,fn(x),⋯ 是具有公共定义域 E E E 的一列函数，则称其为定义在 E E E 上的一个 函数序列，或 函数列，简记作 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 或 f n ( x ) , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ f_n(x),n=1,2,3,cdots fn(x),n=1,2,3,⋯。
quad 此外，类似于数列极限，函数序列同样有极限的概念。
定义 2（极限函数）：设 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 是定义在集合 E E E 上的函数序列，若存在 x 0 ∈ E x_0 in E x0∈E，使得数列 f 1 ( x 0 ) , f 2 ( x 0 ) , ⋯ , f n ( x 0 ) , ⋯ f_1(x_0),f_2(x_0),cdots,f_n(x_0),cdots f1(x0),f2(x0),⋯,fn(x0),⋯ 收敛，则称 函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在点 x 0 x_0 x0 处 收敛， x 0 x_0 x0 称为 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 的一个 收敛点。
quad 设 D D D 是函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 的收敛点全体构成的集合，则称 D D D 为 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 的 收敛域。
quad 对于任意的 x ∈ D ⊂ E x in D subset E x∈D⊂E，若有 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 的一个极限值与之对应，则由这个对应法则所确定的 D D D 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 称为 函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 的极限函数。即 f ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) , x ∈ D . f(x) =underset{n ightarrow infty}{lim}f_n(x),quad x in D. f(x)=n→∞limfn(x),x∈D. 或 f n ( x ) → f ( x ) ( n → ∞ ) , x ∈ D . f_n(x) ightarrow f(x) quad (n ightarrow infty),quad x in D. fn(x)→f(x)(n→∞),x∈D.
quad 对 定义 2 作以下说明：
（1）一般情况下，函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 的收敛域 D D D 是一个区间；
（2）由于 f ( x ) f(x) f(x) 是通过逐点定义的方式得到的，因此称 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在 D D D 上 点态收敛 于 f ( x ) f(x) f(x)。
（3）由 定义 2 可知： 函数列 { f n ( x ) } 在 D 上点态收敛于 f ( x ) ⟺ 对于任意给定的 x 0 ∈ D , 都有数列 { f n ( x 0 ) } 收敛于 f ( x 0 ) . ext{函数列}{f_n(x)} ext{在} D ext{上} ext{点态收敛于} f(x) Longleftrightarrow ext{对于任意给定的} x_0 in D, ext{都有数列} {f_n(x_0)} ext{收敛于} f(x_0). 函数列{fn(x)}在D上点态收敛于f(x)⟺对于任意给定的x0∈D,都有数列{fn(x0)}收敛于f(x0). （4）"函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在 D D D 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)" 可用 “ ϵ − N epsilon-N ϵ−N” 语言描述： ∀ x 0 ∈ D , ∀ ϵ > 0 , ∃ N = N ( ϵ , x 0 ) , ∀ n > N : ∣ f n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ < ϵ . forall x_0 in D,forall epsilon>0,exists N=N(epsilon,x_0),forall n>N:|f_n(x_0)-f(x_0)|0,∃N=N(ϵ,x0),∀n>N:∣fn(x0)−f(x0)∣ 0 epsilon>0 ϵ>0，存在正整数 N N N，使得当 n > N n>N n>N 时， ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ left|f_n(x)-f(x) ight| N , ∀ x ∈ D : ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ . forall epsilon>0,exists N=N(epsilon),forall n>N,forall x in D:|f_n(x)-f(x)|0,∃N=N(ϵ),∀n>N,∀x∈D:∣fn(x)−f(x)∣ 0 , ∀ N , ∃ n > N , ∃ x 0 ∈ D : ∣ f n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ ≥ ϵ 0 . exists epsilon_0>0,forall N,exists n>N,exists x_0 in D:|f_n(x_0)-f(x_0)|ge epsilon_0. ∃ϵ0>0,∀N,∃n>N,∃x0∈D:∣fn(x0)−f(x0)∣≥ϵ0. （3）“函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在 D D D 上 一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)” 的几何意义： 对任意给定的 ϵ > 0 , 存在正整数 N , 当 n > N 时 , 曲线 y = f n ( x ) 都将落在以曲线 y = f ( x ) − ϵ 与 y = f ( x ) + ϵ 为边的带状区域 . ext{对任意给定的}epsilon>0, ext{存在正整数}N, ext{当}n>N ext{时}, ext{曲线} y=f_n(x) ext{都将落在以曲线}y=f(x)-epsilon ext{与}y=f(x)+epsilon ext{为边的带状区域}. 对任意给定的ϵ>0,存在正整数N,当n>N时,曲线y=fn(x)都将落在以曲线y=f(x)−ϵ与y=f(x)+ϵ为边的带状区域.
定义 4（函数序列的内闭一致收敛）：设函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)}（ x ∈ E x in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，若对于任意的闭区间 [ a , b ] ⊂ D [a,b] subset D [a,b]⊂D， { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，则称 函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在 D D D 上 内闭一致收敛 于 f ( x ) f(x) f(x)。
quad 对 定义 4 作以下说明：
（1）在 D D D 上一致收敛的函数序列一定也在 D D D 上内闭一致收敛，但反之不成立。
函数序列一致收敛性的判别法quad 设函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)}（ x ∈ E x in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，思考：什么情况下， { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在 D D D 上一致收敛？
quad 下面，给出函数序列一致收敛的几个判别方法（三个充要条件）。
定理 1：设函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)}（ x ∈ E x in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，则 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在 D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为： lim n → ∞ sup x ∈ D ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = 0. underset{n ightarrow infty}{lim}{underset{x in D}{sup}|f_n(x)-f(x)|}=0. n→∞limx∈Dsup∣fn(x)−f(x)∣=0.
定理 2：设函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)}（ x ∈ E x in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，则 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在 D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为：对任意的数列 { x n } {x_n} {xn}， x n ∈ D x_n in D xn∈D，成立 lim n → ∞ ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) = 0. underset{n ightarrow infty}{lim}(f_n(x_n)-f(x_n))=0. n→∞lim(fn(xn)−f(xn))=0.
quad 由 定理 2 可得 推论 1。
推论 1：设函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)}（ x ∈ E x in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，则 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在 D D D 上不一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为：存在数列 { x n } {x_n} {xn}， x n ∈ D x_n in D xn∈D，成立 lim n → ∞ ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ≠ 0. underset{n ightarrow infty}{lim}(f_n(x_n)-f(x_n)) e0. n→∞lim(fn(xn)−f(xn))=0.
注：推论 1 常用来判断函数序列的不一致收敛。
定理 3（函数序列的Cauchy 收敛准则）： 设函数序列 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)}（ x ∈ E x in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，则 { f n ( x ) } {f_n(x)} {fn(x)} 在 D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为：对于任意给定的 ϵ > 0 epsilon>0 ϵ>0，存在正整数 N N N，使得当 n , m > N n,m>N n,m>N 时， ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ left|f_n(x)-f(x) ight|