温馨提示：完全不懂微积分者慎入！！！
大家可能都听说过一个公式：，这个公式名叫欧拉公式。这个公式真奇怪：自然对数的虚数次方竟然是个实数。接下来，让我们深入了解它的证明过程。
泰勒展开式为了证明欧拉公式，首先要了解泰勒展开是个啥。
泰勒展开就是把一个函数展开成形如的形式，也就是
那么具体如何展开呢？
为了展开成上面的形式，聪明的读者可能已经发现最重要的任务就是确定系数。（先不要管那个，后面有大用）
那么如何确定系数呢？求导，启动！我们可以试试将这个函数求导，也就是求。
若要求它的导数，则一项项求即可，那么怎么求呢？可以运用链式法则：
以举例，我们让，，则
对每一项都如此操作，可以得出：
重头戏来了！
若将带入到中，可得！这就是想要的结果！
那我们将再求一次导数会怎样呢？
按同样的套路我们可得：（阶乘，特殊的约定：。）
咱们疯狂求导可得：
（f头上长的小数字是求导的次数。）
由此可知：
求系数大业完成！
因此我们可以将展开成我们想要的形式：
帅气！
一些常见函数的泰勒展开为了验证咱们公式的正确性，咱们试着求一下、、的泰勒展开，然后试着画一下。
首先最简单了，它的导数就是它本身。我们令，可得
然后是，它的几次导数分别是（第一个是0次导数，没求导）。同样令，可得：
按照同样的操作可得：
为了验证它们的正确性，我们把它们画一下（绿色的是“真的”，黑色的是“假的”）：
只计算一项时误差很大（切线）计算四项：第二象限误差很大计算21项：二、三象限误差仍大，第一象限的误差要放大才看得出来计算30项：x=[-10,2]时基本拟合成功！
读者也可以试着画一下和的曲线。
证明欧拉公式我们已经知道，
此时我们令（，是虚数单位）。由于（），带入可得：
这不正是吗！
因此我们得出
正是欧拉公式。
将带入得：
正是开头的公式。
圆满成功！
实在是太美了。
继续探索本期专栏接近尾声，有的读者可能还疑惑：到底是个啥？
为此，我们用重新计算的泰勒展开式：
我们将它与前面计算的展开式进行对比（绿：；黑：原展开式；蓝：新展开式）：
计算1项（切线）：注意相切的点的x值计算3项：还有明显区别计算18项：它们都是正确的泰勒展开式因此，表示在处展开。也可以理解为以x轴上的为中心，向两边“蔓延”。
GeoGebra：强大的绘图工具本期图片全部是使用GeoGebra的CAS计算器绘制的。GeoGebra是个强大的工具，还提供了几何等功能。详情参见geogebra.org。
GeoGebra代码：
本期使用的LaTeX公式泰勒公式：
三个函数的泰勒展开：
欧拉公式：
往期回顾中国剩余定理
微积分中的换元法
下期再见！