正压电效应和逆压电效应与材料的各向异性程度密切相关，反过来，各向异性又受压电材料的晶体结构影响，同时各向异性的程度还受 极化 过程的影响。这篇博客，我们将介绍如何在 COMSOL 软件中正确地模拟压电材料的晶体取向和极化方向。
压电效应简介在之前的一篇博客中，我们介绍了压电效应以及如何将其应用到超声微电机和薄膜式体声波谐振器等器件中。接下来我们快速复习一下，正 压电效应是指当材料受到机械应力的作用时，它的电极化会发生改变。逆 压电效应是指材料受到外部电场后会发生变形。
压电效应源自晶体结构在 32 种晶体中有 20 种具有压电效应，且它往往与非中心对称晶体结构有关。石英等天然材料就是由于其晶体结构而表现出压电效应。而锆钛酸铅（PZT）工程材料需经过 极化 过程才能表现出压电特性。让我们来一起探究微观层面上究竟发生了什么，从而引起了压电效应。
钙钛矿晶胞中偏离中心的钛离子。
对于钙钛矿（perovskite，分子式为 CaTiO3）之类的典型的非中心对称晶体结构来说，晶体中每个晶胞的净电荷均为零。然而，由于晶胞中的钛离子略微偏离中心，因此产生了电极性，从而使晶胞转化为有效的电偶极子。当机械应力作用在晶体上时，钛离子的位置进一步发生变化，进而改变晶体的极化强度，产生正压电效应；相反，当对晶体施加电场时，钛离子的位置会发生相对移动，从而导致晶胞变形，使其变得更接近（或偏离）正方体，这就是逆压电效应的形成原因。
为什么要对压电材料进行极化？在晶胞构成的宏观晶体结构中，固有偶极子的取向原本是毫无规则的。当机械应力作用在材料上时，为使储存在偶极子中的总机电能量降至最小，每个偶极子都会改变其初始取向，朝着使能量最小化的方向旋转。如果所有偶极子的初始取向都杂乱无章（也就是净极化为零）的话，旋转行为可能不会显著改变材料的宏观净极化，因此表现出的压电效应可以忽略。所以，在材料中创造一个使大多数偶极子大致朝同一方向的初始状态就显得尤为重要。这可以通过对材料进行极化处理实现。偶极子共同朝向的方向称为 极化方向。
箭头表示极化前（左图）、极化中（中图）、极化后（右图）电偶极子的对齐方向。
在极化过程中，施加于材料的强电场使全部偶极子的取向与电场方向保持一致。当撤去电场后，由于晶格的微观缺陷造成的钉扎效应的影响，大部分偶极子不会回到初始取向。这样，我们便得到了由大量取向大致相同的微观偶极子构成的材料。值得注意的是，如果向材料施加与极化方向相反的强电场，或者使材料暴露在高于其居里温度的环境中，材料将发生去极化现象。
研究各向异性材料属性现在，我们已经了解压电效应是由于晶体结构自身的各向异性和极化作用而产生的。这也意味着，压电材料的刚度（或柔度）矩阵、耦合矩阵和介电常数矩阵等属性是在 123 轴表示的特定晶体坐标系中定义的。
极化方向通常被当做第 3 轴，然而石英却是一个例外，其极性往往被定义为沿 第 1 轴。因此，我们需要用这三个主方向来解释材料属性。例如，耦合系数 d31 表示沿第 3 主方向施加电场时，材料沿第 1 主方向发生的应变值。这也说明，只有当晶体的主方向与仿真中描述材料位置的坐标系一致时，才能在无需修改材料属性的情况下直接使用。
在 COMSOL Multiphysics 中，我们采用由（大写的）XYZ 轴表示的材料坐标系定义材料的位置。因此模拟压电材料时，首要的关键步骤是考虑其空间取向和极化方向，以确保对材料属性进行正确的阐释。如果晶体的主轴无法与材料坐标系的轴对齐，则需要创建一个适当的用户定义坐标系，以获取映射函数来对材料属性进行适当变换（和解释）。现在让我们来看看如何在 COMSOL Multiphysics 中实现这一想法。
极化方向沿 z 轴的压电晶体图（左图），其中主晶体取向的 123 轴与材料坐标系的 XYZ 轴一致。极化方向沿 x 轴的压电晶体（右图）的表示方法与左图不同，其中 第 1 主方向与材料坐标系的 Z 轴一致。
使用旋转坐标系COMSOL Multiphysics 提供的旋转坐标系允许我们使用 Euler 角的 Z-X-Z 约定来指定方向。如果压电材料的晶体取向或极化方向可以被表示为绕着默认直角坐标系的一次或多次旋转，那么这个功能非常有用。
Euler 角 α、β 和 γ 的图像，其中 xyz 表示原始坐标系，XYZ 表示旋转坐标系。
举例来说，蘑菇形压电换能器教学模型展示了如何通过建立旋转坐标系对沿 Z 轴负方向极化进行建模。这个过程是通过将 Euler 角 β 设为 180° 实现的。另一个教程展示了如何模拟厚度剪切式石英振子，并阐述了如何在 COMSOL 软件中利用 -54.75° 的欧拉角 β 来表示 AT-切型石英，其中石英盘的厚度沿 Z 轴方向表示。
圆盘表示 AT-切型石英，其中蓝箭头表示 1st 主方向。沿软件中的 Z 轴方向表示石英盘厚度。左下角显示了默认坐标。图像右侧显示了用于建立旋转坐标系的 Euler 角。
在上述示例中，如果石英盘的厚度方向取向是沿 COMSOL Multiphysics 中的 Y 轴，那么同样的 AT-切就需要用 35.25° Euler 角 β 来进行表示。值得注意的是，AT-切这一术语没有提供任何关于三维石英晶体的空间方位的明确信息。
相反 AT-切描述的是与石英盘厚度方向一致的晶体取向。如果圆盘在 COMSOL 软件中的全局坐标系中旋转，那么必须采用一组不同的 Euler 角，这是因为 COMSOL Multiphysics 是使用旋转坐标系来定义对应全局坐标系的晶体取向的。
另外，就石英的示例而言，一定要清楚材料的极化方向是左旋还是右旋，同时还需明确要选择两套常用标准中的哪一套来描述材料属性（通常较旧的 IRE 1949 标被用于准描述石英材料属性和晶体切片，而 IEEE 1978 标准常被用于描述大部分压电材料）。
图内圆盘表示 AT-切型石英，其中蓝箭头表示第 1 主方向。沿 COMSOL 软件中的 Y 轴方向表示石英盘的厚度。左下角显示了默认坐标。图右侧显示了用于建立旋转坐标系的 Euler 角。
备注：在 4.4.0.195 版本（COMSOL 4.4 更新 1）中，COMSOL Multiphysics 引入了四套可选的石英材料属性。1949 IRE 标准和 1978 IEEE 标准可分别被用来描述左旋和右旋极化方向的材料属性。部分材料属性（例如 c14，d11 等）的符号（正或负）变化取决于使用哪种坐标系来定义材料属性。