1. 前言
在求解一些代数类问题，例如求出矩阵函数的解、求出矩阵函数的逆、解微分方程组，尤其是在求解常系数线性微分方程组初值问题的过程当中，运用矩阵最小多项式能达到简化运算和快速计算标准矩阵的目的。最小多项式同时也是多项式理论中的重要内容，它在矩阵对角化的判断、矩阵是否相似以及在线性变换结构中的研究都有相应的运用。最小多项式除了在矩阵理论方面有所应用，在线性控制系统等其他领域的应用十分也广泛。
2. 利用特征多项式求最小多项式
定义1.1 [1] ：设A∈Fn×n ，行列式，
称为矩阵A 的特征多项式．
定理1.1 [2] ：如果n 阶矩阵A 的特征多项式能够分解表示成不同一次因式方幂的乘积
其中λi 是A 的相异的特征值，ni 是特征值λi 的重数，且n1+n2+⋯+ns=n ，则A 的最小多项式具有如下形式
mA(λ)=(λ−λ1)d1(λ−λ2)d2⋯(λ−λs)ds, 其中di≤ni(i=1,2,…,s).
求最小多项式mA(λ) 的步骤如下：
步骤1：找到矩阵A 的特征多项式
步骤2：将特征多项式fA(λ) 化成标准分解式fA(λ)=(λ−λ1)n1(λ−λ2)n2⋯(λ−λs)ns.
步骤3：取包含一切不同因式幂积，按次数从低到高的顺序验证这些因式是否为A 的零化多项式，其中使A 零化的次数最低的幂积为矩阵A 的最小多项式。
例题1.1：求矩阵A=[1−11020002] 的最小多项式mA(λ).
解：矩阵A 的特征多项式为
fA(λ)=|λE−A|=(λ−1)(λ−2)2,
由定理1.1可知，矩阵A 的最小多项式可能为：
m1(λ)=(λ−1)(λ−2) ， ，
因为
m1(A)=(A−E)(A−2E)=O ，
所以A 的最小多项式为
mA(λ)=(λ−1)(λ−2).
3. 最小多项式的应用
3.1. 化简任意矩阵多项式
求解矩阵函数时，如果多项式次数较高，直接计算f(A) 会比较繁琐，而利用最小多项式可以降低f(λ) 的次数，再将矩阵A 带入求解，使运算达到了简化的目的。
利用最小多项式化简任意矩阵多项式的步骤如下：
步骤1：先求出矩阵A 的最小多项式mA(λ).
步骤2：用mA(λ) 除f(λ) ，得商式q(λ) 和余式r(λ) ，即f(λ)=q(λ)mA(λ)+r(λ) 。
步骤3：由 且f(A)=q(A)m(A)+r(A), 可得f(A)=r(A).
例题2.1：已知A=[2001111−13] ，f(λ)=λ6+2λ5−λ4+3λ2−2λ+1 ，求f(A).
解：矩阵A 的特征多项式为
fA(λ)=(λ−2)3,
矩阵的最小多项式可能为：
m1(λ)=(λ−2) ，m2(λ)=(λ−2)2 ，m3(λ)=(λ−2)3 ，
由于
m1(A)=(A−2E)≠O ，m2(A)=(A−2E)2=O ，
因此矩阵的最小多项式为
mA(λ)=(λ−2)2 ，
设
f(λ)=q(λ)mA(λ)+r(λ) ，
且通过计算可得
因此
f(A)=r(A)=330A−539E=[12100330−209330330−330451] 。
3.2. 求线性空间的维数和一组基
在代数中一般通过线性空间的极大无关组表示线性空间的基，计算比较繁琐，利用最小多项式求线性空间的维数和一组基，可以使过程更加简便。
定理2.1 [3] ：设A∈Fn×n 的全体多项式形成的线性空间是W ，并且mA(λ) 是A 的最小多项式，则有
1)W 的维数等于mA(λ) 的次数k ，即dim(W)=∂(mA(λ))=k ；
2)E,A,A2,⋯,Ak−1 为W 的一组。
例题2.2：矩阵A=[1000w000w2] ，其中w=−1+3i2 ，W={f(λ)|f(λ)∈R(λ)} ，其中f(λ) 为A 的特征多项式，求W 的维数及其一组基。
解：矩阵A 的特征多项式为
fA(λ)=(λ−1)(λ−w)(λ−w2) ，
由于
w2=−1−3i2 ，w3=1 ，
则f(λ) 有三个互异的特征值，矩阵 的最小多项式为
mA(λ)=fA(λ)=(λ−1)(λ−w)(λ−w2) ，
由于
dim(W)=∂(mA(λ))=3 ，
因此E,A,A2 是矩阵A 的全体多项式生成的线性空间W 的一组基。
3.3. 求解矩阵方程
对于矩阵方程AX−XB=C 的求解方法，通过矩阵的最小多项式来求得矩阵方程AX−XB=C 的解，使方程的结果更加简洁。
定义2.1 [4] ：设两个线性空间X 、Y ，T 是X 到Y 的映射，T 的定义域和值域分别记录为D(T) 和R(T) ，任取，若αx1+βx2∈D(T) ， ，那么称T 是以D(T) 为定义域的X 到Y 的线性算子。
定理2.2 [5] ：设A,B,X∈Fn×n ，若A˜ 、B˜ 是 在Fn×n 到Fn×n 的线性算子则有 A˜X=AX ，B˜X=BX 。
定理2.3 [5] ：由 可知，方程AX−XB=C 与方程(A˜−B˜)X=C 等价。
定理2.4 [5] ：A˜−B˜ 可逆的充要条件是
(mA(λ),mB(λ))=1 ，
且
X=(A˜−B˜)−1C=−∑k=0r−1∑s=0kαr−sAr−1−kCBk−su(B) ，
其中r 为的mA(λ) 次数，u(λ) 满足
mA(λ)u(λ)+mB(λ)v(λ)=1 。
例题2.3已知
A=[110−1−11−2−20] ，B=[010001−1−2−1] ，C=[101000101] ，
求解矩阵方程AX−XB=C 。
解：矩阵的最小多项式分别为
mA(λ)=λ3+2λ ，mB(λ)=λ3+λ2+2λ+1 ，
由于
mA(λ)(−λ2−λ−1)+mB(λ)(λ2+1)=1 ，
取u(λ)=−(λ2+λ+1) ，从而
u(B)=−(B2+B+1)=[−1−1−1110011] ，
将α1=2,α2=0,α3=1 ，代入
X=(A˜−B˜)−1C=−∑k=0r−1∑s=0kαr−sAr−1−kCBk−su(B) ，
得
X=−(−A2C+ACB+CB2+2C)u(B)=[311−3000−21] 。
3.4. 在矩阵对角化中的应用
利用最小多项式的相关理论得到矩阵能够对角化的一个充要条件，可以较快地判断矩阵能否对角化。
定理2.5 [6] ：n 阶矩阵A 的最小多项式无重根的充分必要条件是矩阵A 能够对角化。
例题2.4：判断在以下两种情况下矩阵A 是否能够对角化。
1) ；2)A2=A 。
解：1)A2=E ，f(λ)=λ2−1=(λ−1)(λ+1) 为A 的零化多项式，因为特征方程无重根，所以 能够对角化。
2)A2=A ，f(λ)=λ2−λ=λ(λ−1) 为A 的零化多项式，因为特征方程无重根，所以A 能够对角化。
4. 结论