精算和风险管理的基础是对风险进行合理的度量。
从数学上看，风险是用概率方法描述的，风险度量把一个代表风险的随机变量转化为一个实值的过程。
假设 (X) 表示随机风险，( ho) 为风险度量方法，(r) 为风险度量值，则风险度量过程可以表示为： [r = ho(X)]
其中，( ho) 就是将随机风险转化为非负实数的一个风险度量函数。
常用的风险度量方法有：
基于方差、半方差等的离差方法
基于在险价值、条件在险价值等的分位数方法
极值理论
这一节我们主要介绍常用的分位数风险度量方法和极值理论。
4.2 风险度量的一致性要求风险的度量必须遵循一定的原则，合理的风险度量方法应该与经济原理、与人们的认知一致，不会出现悖论。因此，风险应该满足一致性风险度量公理体系。
一致性风险度量是指风险度量 ( ho) 对任意两个随机变量 (X) 和 (Y) 应满足以下4个特性：
次可加性(Subadditivity): ( ho(X) + ho(Y) le ho(X+Y))
单调性 (Monotonicity): 若 (Xle Y) 则( ho(X)le ho(Y))
正齐次性 (Positive homogeneity): 对于任意常数(c>0), ( ho(cX)=c ho(X))
平移不变性 (Translation invariance): 对于任意正常数 (c), ( ho(X+c)= ho(X)+c)
4.3 VaR（Value-at-Risk，在险价值）定义：如果 (X) 表示随机风险造成的损失，那么 (X) 在100p水平上的 VaR ，记为 (VaR_p(X)) 或 (pi_p) 是X的分布的(100p) 分位数。
对于连续性分布，我们有
[Pr(X>pi_p)=1-p.]
在险价值是指在一定的置信水平下，在未来特定的一段时间内的最大可能损失
至少有 (p=0.95,0.99,0.999...) 的把握保证最大损失不超过 (x)
不满足一致性的例子:
假设 (Z) 是一个连续损失随机变量，其分布函数为：
[egin{align*}&F_Z(1) = 0.91 \& F_Z(90) = 0.95\& F_Z(100) = 0.96end{align*}]
(VaR_{95\%}(Z) = 90)
假设我们把风险(Z)拆分成两个独立的风险(X)和(Y)，使两个风险的总和相当于风险 (Z)，即(X+Y=Z)
[X=egin{cases}Z, & quad Zle 100,\0, & quad Z> 100,end{cases}] 和 [Y=egin{cases}0, & quad Zle 100,\Z, & quad Z> 100.end{cases}] 那么(VaR_{95\%}(X) = 1)并且(VaR_{95\%}(Y) le 0)
[VaR_{95\%}(Z) = VaR_{95\%}(X+Y) > VaR_{95\%}(X) + VaR_{95\%}(Y).]
4.4 TVaR （Tail-Value-at-Risk，尾部在险价值）TVaR 弥补了 VaR 方法作为风险度量函数不满足次可加性的缺陷，因而是一个具有优良性质的一致性风险度量函数。
定义：TVaR 是超过的损失 (VaR_p(X)) 的期望值，即 (TVaR_p) 是最坏的 (100(1-p)%) 损失的期望值。(TVaR_p) 定义为：
[egin{align*}& \ & ext{TVa}{{ ext{R}}_{p}}(X)=frac{int_{p}^{1}{ ext{Va}{{ ext{R}}_{u}}(X)du}}{1-p} end{align*}]
其中，TVaR 可以理解为是在区间（p, 1）上的VaR 的算数平均数，因此在相同的概率水平下，TVaR大于VaR的度量结果。
性质: 对于连续分布而言，TVaRp还可以写成更为直观的表达式：
[egin{align*} ext{TVa}{{ ext{R}}_{p}}(X)=mathbb{E}(X|X> ext{Va}{{ ext{R}}_{p}})&= frac{int_{ ext{Va}{{ ext{R}}_{p}}}^{infty }{xf(x)dx}}{1-F( ext{Va}{{ ext{R}}_{p}})}\&=frac{int_{ ext{Va}{{ ext{R}}_{p}}}^{infty }{xf(x)dx}}{1-p}end{align*}]-证明
[egin{align*} ext{TVa}{{ ext{R}}_{p}}(X)& =frac{int_{ ext{Va}{{ ext{R}}_{p}}}^{infty }{xf(x)dx}}{1-p} ext{ } \ & =frac{int_{ ext{Va}{{ ext{R}}_{p}}}^{infty }{x ext{d}F(x)}}{1-p} quadquad ext{ if }F(x)=uRightarrow x= ext{Va}{{ ext{R}}_{u}}(X) \ & =frac{int_{p}^{1}{ ext{Va}{{ ext{R}}_{u}}(X)du}}{1-p} end{align*}]例：假设随机变量服从参数为((mu,sigma))的正态分布，求该正态分布VaR和TVaR的表达式。
[ ext{Va}{{ ext{R}}_{p}}(X)=mu +sigma ext{ }{{Phi }^{-1}}(p),]
[ ext{TVa}{{ ext{R}}_{p}}(X)=mu +frac{sigma }{1-p}phi left[ {{Phi }^{-1}}(p) ight].]
[egin{align*} ext{TVa}{{ ext{R}}_{p}}(X)& =frac{int_{p}^{1}{ ext{Va}{{ ext{R}}_{u}}(X)du}}{1-p}=frac{int_{p}^{1}{left[ mu +sigma {{Phi }^{-1}}(u) ight]du}}{1-p} \ & =mu +frac{sigma }{1-p}int_{p}^{1}{{{Phi }^{-1}}(u)du} quad ext{ let }u=Phi (x) \ & =mu +frac{sigma }{1-p}int_{{{Phi }^{-1}}(p)}^{infty }{xphi (x)dx} \ & =mu +frac{sigma }{1-p}phi left[ {{Phi }^{-1}}p ight]end{align*}]如果损失分布是离散的，计算 TVaR 会复杂一些。
例:
[X=egin{cases} & 0 ext{ 的概率为 0} ext{.9} \ & 100 ext{ 的概率为 0} ext{.06} \ & 1000 ext{ 的概率为 0} ext{.04} \ end{cases} ]
计算 TVaR 90% 和 TVaR 95%。
-对于90% 的水平, 由于( ext{VaR}_{90\%}=0), [ ext{TVa}{{ ext{R}}_{0.90}}=frac{(0.06)(100)+(0.04)(1000)}{0.10}=460]
-对于95% 的水平, 右尾的 5% 由两部分组成：4% 的损失为1000，1%的损失等于100 ，故[ ext{TVa}{{ ext{R}}_{0.95}}=frac{(0.01)(100)+(0.04)(1000)}{0.05}=820]
4.5 课后习题如果 (X) 有以下分布: [X=egin{cases}& 100, quad quad 0.5\% \& 50, quad quad 4.5\% \& 10, quad quad 10\% \& 0, quad quad 85\%end{cases}]请计算(VaR_{99\%}(X))和(VaR_{95\%}(X)).
解：( ext{Va}{{ ext{R}}_{0.95}}=10,quad ext{Va}{{ ext{R}}_{0.99}}=50, quad ext{Va}{{ ext{R}}_{0.999}}=100)。
损失服从正态分布，均值为33，标准差为109，计算 (VaR_{95\%}).[egin{align*} & F( ext{Va}{{ ext{R}}_{0.95}})=0.95 \ & Phi left( frac{ ext{Va}{{ ext{R}}_{0.95}}-33}{109} ight)=0.95 \ & Rightarrow frac{ ext{Va}{{ ext{R}}_{0.95}}-33}{109}=1.6449 \ & Rightarrow ext{Va}{{ ext{R}}_{0.95}}=212.289end{align*}]
qnorm ( 0.95, mean = 33, sd = 109)## [1] 212.289你有如下信息： X是一个随机变量，其概率密度函数如下： [f(x)=(frac{alpha}{eta})(frac{eta}{x})^{alpha+1}, xgeqeta,alpha>0,eta>0] E[X]= 7500 E[(X^{2})]=75,000,000 m is the median of X 请求(f(m))的值。解答 [F(x)=1-(frac{eta}{x})^alpha] [E(X)=frac{alphaeta}{alpha-2}] [E(X^2)=frac{alphaeta^2}{alpha-2}]所以我们有(alpha=3,-1)，并且由于(alpha>0)我们排除-1，所以 (eta)=5000。
[(frac{5000}{m})^3=f(m)=0.5] [m=6299.61] [f(m)=(frac{3}{5000})(frac{5000}{6299.61})^4=0.0002381 ]
X服从参数 (alpha = 2.5)的伽马分布，( heta = 10)，(Y = 1/X)， 请计算 Var(Y)。 提示：伽马分布的矩有如下性质 [E(X^k)=frac{ heta^kGamma(alpha+k)}{Gamma(alpha)}] - 解答：[E(X^k)=frac{ heta^kGamma(alpha+k)}{Gamma(alpha)}] [E(X^{-1})=frac{ heta^{-1}Gamma(alpha-1)}{Gamma(alpha)}=frac{1}{ heta(alpha-1)}] [E(X^{-2})=frac{1}{ heta^2(alpha-1)(alpha-2)}] [Var(Y)=frac{1}{10^2(1.5)(0.5)}-left(frac{1}{10(1.5)} ight)^2=0.008889]
试求正态分布和指数分布的VaR和TVaR解答 正态分布：[f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}expleft[-frac{1}{2}left(frac{x-mu}{sigma} ight)^2 ight]][ ext{Va}{{ ext{R}}_{p}}(X)=mu +sigma ext{ }{{Phi }^{-1}}(p),]
[ ext{TVa}{{ ext{R}}_{p}}(X)=mu +frac{sigma }{1-p}phi left[ {{Phi }^{-1}}(p) ight]]
[egin{align*} ext{TVa}{{ ext{R}}_{p}}(X)& =frac{int_{p}^{1}{ ext{Va}{{ ext{R}}_{u}}(X)du}}{1-p}=frac{int_{p}^{1}{left[ mu +sigma {{Phi }^{-1}}(u) ight]du}}{1-p} \ & =mu +frac{sigma }{1-p}int_{p}^{1}{{{Phi }^{-1}}(u)du} quad ext{ let }u=Phi (x) \ & =mu +frac{sigma }{1-p}int_{{{Phi }^{-1}}(p)}^{infty }{xphi (x)dx} \ & =mu +frac{sigma }{1-p}phi left[ {{Phi }^{-1}}p ight]end{align*}]证明：
[egin{align*} int_{{{Phi }^{-1}}(p)}^{infty }{xphi (x)dx} &=frac{1}{sqrt{2pi }}int_{{{Phi }^{-1}}(p)}^{infty }{x{{ ext{e}}^{-{{x}^{2}}/2}}dx} \ & =-{frac{{{ ext{e}}^{-{{x}^{2}}/2}}}{sqrt{2pi }}}vert^{infty}_{{Phi }^{-1}}(p) \ & =frac{1}{sqrt{2pi }}{{ ext{e}}^{-frac{{{left[ {{Phi }^{-1}}(p) ight]}^{2}}}{2}}} \ & =phi left[ {{Phi }^{-1}}(p) ight] end{align*}]指数分布：
[f(x)=frac{1}{ heta}expleft(-frac{x}{ heta},quad x>0. ight)]
[ ext{Va}{{ ext{R}}_{p}}(X)=- heta ln (1-p)]
[ ext{TVa}{{ ext{R}}_{p}}(X)= ext{Va}{{ ext{R}}_{p}}(X)+ heta]
试证明以下等式成立：[E(X)=e(d)S(d)+E(Xwedge d) ]
解答[egin{aligned}E(X)=&int_0^infty xf(x)dx \=&int_0^d xf(x)dx+int_d^infty df(x)dx+int_d^infty (x-d)f(x)dx\=&int_0^d xf(x)dx +d[1-F(d)]+e(d)S(d)\=&E(X wedge d)+e(d)S(d)end{aligned}]
损失服从参数为(alpha) 和 ( heta)的帕累托分布，10%分位数为( heta-k)，90%分位数为(5 heta-3k)，求(alpha)的值。解答[egin{aligned}0.1=&1-left(frac{ heta}{ heta+ heta-k} ight)^{alpha}\0.9=&1-left(frac{ heta}{ heta+5 heta-3k} ight)^{alpha}\frac{0.9}{0.1}=&left(frac{6 heta-3k}{2 heta-k} ight)^{alpha}=3^{alpha}\alpha=&2end{aligned}]
假设随机变量 (Xsim ext{Gamma}(alpha = 2, heta = 100))，其中期望为 200。请用 R 软件进行绘图：
（1）请画出 (mathbb{E}(Y^L)) 和 (mathbb{E}(Y^p)) 随着 (d) 增加而变化的曲线图
（2）请画出有限期望(mathbb{E}(Xwedge u)) 随着 (u) 变化而变化的曲线图
若假设 (Xsim ext{Pareto}(alpha=2, heta=200)) 和 (Xsim ext{exp}( heta = 1/200))。
（3）请画出 (mathbb{E}(Y^L)) 和 (mathbb{E}(Y^p)) 随着 (d) 增加而变化的曲线图
（4）请画出有限期望 (mathbb{E}(Xwedge u)) 随着 (u) 变化而变化的曲线图
注意： 上述三个分布的均值相等，均为 200。 指数分布: (e_X(d)=frac{1}{ heta}) 帕累托分布: (e_X(d)=frac{ heta}{alpha-1})
解答# 指数分布的生存函数S