简略地说，定义域是所有输入一个函数的值，而值域则是所有函数生成的值。
对一个函数的定义来说，它们是非常重要的，
请先去阅读 "函数是什么？" ……
函数函数显示输入与输出的关系：
例子：这棵树每年长高 20厘米，所以树的高度与它年龄的关系可以用函数 h 来显示：
h(年龄) = 年龄 × 20
所以，如果年龄是 10年，高度就是 h(10) = 200厘米
"h(10) = 200" 就是说 10 和 200 是有关联的： 10 → 200
输入与输出但不是所有的值都可以这样的！
如果把不合适的数值（例如负值的年龄）输入这个函数，结果就不成立，知道正确输出的属性（例如高度一定要是正数）也会有用所以我们需要描述函数所有允许的输入和输出。
最好是用 集合 ……
集合（简：集）是由一个或多个确定的东西（通常是数字）所构成的整体。这是一些例子：
偶数集：{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}奇数集：{..., -3, -1, 1, 3, ...}质数集：{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}小于十的三的倍数：{3, 6, 9}函数是用集合来定义的：
函数的正式定义函数把一个集里的每一个元素联系到另一个集里一个独一的值（可能是同一个集）。 定义域、值域和陪域函数允许的输入和可能的输出都有特定的名词：
允许输入到一个函数的集合称为定义域函数的可能输出叫培域函数的实际输出叫值域例子•"A"集是定义域，
•"B"集是陪域,
•在B集里与A集有关联的元素（函数的实际输出）就是值域，也成为其图象。
在这个例子里：
定义域：{1, 2, 3, 4}陪域：{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}值域：{3, 5, 7, 9}函数的部分函数的输出 （值域）决定于函数的输入 （定义域） ……
…… 而定义域是随我们定义的！
定义域是函数必须的部分。改变了定义域也就改变了函数。
例子：一个简单的函数，例如 f(x) = x2 的定义域（输入）可以是正整数 {1,2,3,...}，值域就是集合 {1,4,9,...}
另一个函数 g(x) = x2 的定义域可以是所有整数 {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}，值域就是集合 {0,1,4,9,...}
虽然两个函数都是取输入的平方，它们输入的集是不同的，所以输出也是不同的。
g(x) 的值域也包括 0.
两个函数的属性也有点不同。
例如，f(x) 的的结果是独特的，但同一个 g(x) 的结果可以是从两个不同的输入而来的（例如 g(-2)=4，g(2)=4)
所以定义域是函数必须的部分。
函数一定有定义域吗？对，函数一定有定义域。但在简单的数学里，我们通常都不刻意去描述定义域，因为我们都假设定义域是：
所有 "合理" 的数值。或者，在处理自然数时，定义域就是自然数。依此类推。但是在高级数学里，我们就要非常小心！
陪域与值域陪域与值域都是和输出有关的集，但它们有细微的不同。
陪域是输出的可能值的集。陪域是函数定义的一部分。
而值域则是输出的实际值的集。
例子：我们可以定义函数 f(x)=2x 的定义域和陪域为整数（因为定义是我们建立的）。
但这个函数的值域（实际输出值）其实只是偶数。
所以陪域是整数（定义是这样），但值域是偶数。
值域是陪域的子集。
为什么需要分开为这两个集？我们有时不精确地知道值域是什么（因为函数可能很复杂或不完全清晰），但我们知道值域必然是在一个集内（例如整数或实数），所以我们可以为陪域下定义。
陪域的重要性问题：平方根 是不是函数？
如果我们把陪域（可能输出值）定义为实数，平方根就不是函数！…… 奇怪吗？
原因是一个输入值可以有两个输出值，例如 f(9) = 3 或 -3
函数 一定要是单值的。一个输入值不能有多于一个输出值。所以 "f(9) = 3 或 −3" 就不行了！
但是若我们把陪域定义为非负实数，平方根就是函数了。
√实际上，平方根符号（√x）的意思一定是主（正）平方根，所以√x 是个函数，因为陪域的定义是正确的。
因此，陪域的定义可以决定一个关系是否函数。
记法
数学家喜欢以简单的符号来代替冗赘的文字，描述定义域和陪域也一样。
这是其中一个简单的数学语言描述：
这个的意思是：函数 "f" 的定义域是 "N"（自然数），而陪域也是 "N"。
or这两个的意思是：函数 "f" 的输入是 "x"，而返回 "x2"
也可以这样写：
Dom(f) 或 Dom f 的意思是："函数 f 的定义域"
Ran(f) or Ran f 的意思是： "函数 f 的值域"
怎样具体描述定义域和值域去 合建构式符号 学习怎样具体描述定义域和值域.
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