过空间的一点，与已知直线垂直的平面只有一个。因此，给定平面上的一点和垂直于该平面的一个非零向量，平面就确定了。 这就是所谓的点法式方程的基础。
(1)法向量：任意垂直与一个平面的向量被称为法向量。 法向量有无数个。
(2)平面的点法式方程：假设平面上的一个点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0, y_0, z_0) M0(x0,y0,z0),已知该平面的法向量为 n = ( A , B , C ) n=(A, B, C) n=(A,B,C), 那么对于平面上的任意一点 M ( x , y , z ) M(x, y ,z) M(x,y,z), 向量 M 0 = ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) M_0 = (x-x_0, y-y_0, z-z_0) M0=(x−x0,y−y0,z−z0)与法向量垂直，即 n ⋅ M M 0 = 0 n cdot MM_0 = 0 n⋅MM0=0, A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0)=0 A(x−x0)+B(y−y0)+c(z−z0)=0
2. 点与平面的关系 (1)点与平距离的计算假设平面的方程为 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0平面外的一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0, y_0, z_0) P0(x0,y0,z0), 在平面上取一点 P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) P_1(x_1, y_1, z_1) P1(x1,y1,z1), 那么点 P 0 P_0 P0到平面的距离d就是向量 P 1 P 0 P_1P_0 P1P0在法向量 n n n上投影的长度。 d = ∣ n ⋅ P 1 P 0 ∣ n = ∣ A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=frac{left | ncdot P_1P_0 ight |}{n}=frac{left | A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0) ight |}{sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}} d=n∣n⋅P1P0∣=A2+B2+C2 ∣A(x−x0)+B(y−y0)+c(z−z0)∣ = ∣ A x − A x 0 + B y − B y 0 + C z − C z 0 ∣ A 2 + B 2 + C 2 = ∣ A x + B y + C z − A x 0 − B y 0 − C z 0 ∣ A 2 + B 2 + C 2 =frac{left | Ax-Ax_0+By-By_0+Cz-Cz_0 ight |}{sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}=frac{left | Ax+By+Cz-Ax_0-By_0-Cz_0 ight |}{sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}} =A2+B2+C2 ∣Ax−Ax0+By−By0+Cz−Cz0∣=A2+B2+C2 ∣Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0∣ = ∣ D + A x 0 + B y 0 + C z 0 ∣ A 2 + B 2 + C 2 =frac{left |D+ Ax_0+By_0+Cz_0 ight |}{sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}} =A2+B2+C2 ∣D+Ax0+By0+Cz0∣ 所以点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)到平面的距离为 d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=frac{left | Ax_0+By_0+Cz_0 +D ight |}{sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}} d=A2+B2+C2 ∣Ax0+By0+Cz0+D∣
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